Lösung von Aufgabe 12.9

Es gelte der Innenwinkelsatz für Dreiecke. Beweisen Sie den starken Außenwinkelsatz.

Starke Außenwinkelsatz: In jedem Dreieck ist das Maß eines jeden Außenwinkels so groß wie die Summe der Größen der beiden nichtanliegenden Innenwinkel.

Lösung 1

VSS: Dreieck $\overline{ABC}$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ sind Innenwinkel des Dreiecks $\overline{ABC}$, $\gamma^{'}$ ist Außenwinkel.
Es gelte der Satz zur Innenwinkelsumme im Dreieck!
Beh: aBdA: $\alpha$ + $\beta$ = $\gamma^{'}$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$|\gamma^{'}|$ + $|\gamma|$ = 180	(Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom)
(II)	$| \alpha|$ + $|\beta|$ + $|\gamma|$ = 180	(Satz Innenwinkelsumme im Dreieck)
(III)	$|\gamma^{'}|$ + $|\gamma|$ = $| \alpha|$ + $|\beta|$ + $|\gamma|$	(I), (II), (rechnen mit reellen Zahlen)
(IV)	$|\gamma^{'}|$ = $| \alpha|$ + $|\beta|$	(III), (rechnen mit reellen Zahlen)

--> Beh ist wahr. analoge Beweisführung für $|\alpha^{'}|$ und $|\beta^{'}|$ bzgl den entsprechenden nichtanliegenden Innenwinkeln.
--Löwenzahn 09:58, 14. Jul. 2010 (UTC)