Lösung von Aufgabe 13.1

Beweisen Sie den Satz: Wenn ein Innenwinkel eine Dreiecks größer ist als ein anderer Innenwinkel dieses Dreiecks ist, dann ist die Seite, die ihm gegenüber liegt, größer als die Seite, die dem kleineren Winkel gegenüber liegt.

Satz IX.3

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen.
$\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|\Rightarrow \left| a \right| >\left| b \right|$

Beweis von Satz IX.3

Fallunterscheidung:
Voraussetzung: $\ |\alpha| > |\beta|$
Annahme:$|a| \le \ |b|$
Aus "$\ \le$" lassen sich zwei Fälle ableiten:

1. ) $|a| = \ |b|$, dann gilt allerdings $\left| \alpha \right| = \left| \beta \right|$, da es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, bei dem bekanntlich die Basiswinkel kongruent sind --> Widerspruch zur VSS!
2. ) $|a| < \ |b|$, das ist allerdings der Fall, wenn $\ |\alpha| < |\beta|$ (zu beweisen, analog zu Satz IX.2)

Beweis (Fall 2):
Voraussetzung: $\ |\alpha| > |\beta|$
Annahme:$|a| < \ |b|$