Lösung von Aufgabe 13.5
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Version vom 17. Juli 2010, 13:19 Uhr von Löwenzahn (Diskussion | Beiträge)
Man beweise: Ein Punkt gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels , wenn er zu den Schenkeln von jeweils denselben Abstand hat.
Versuch 1
Da es sich bei diesem Satz um eine Äquivalenzrelation handelt ("genau dann") muss die "Hin- und Rückrichtung" bewiesen werden.
1. Hinrichtung: "Wenn ein Punkt P zu den Schenkeln von jeweils denselben Abstand hat, dann gehört er zur Winkelhalbierenden des Winkels ."
VSS: ,
Beh: Winkelhalbierende von
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl und B sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl | (Existenz und Eindeutigkeit Lot) |
(II) | (VSS) | |
(III) | (trivial) | |
(IV) | (Definition Lot) | |
(V) | ist größter Winkel im Dreieck | (Satz: höchstens ein rechter Winkel im Dreieck), (IV) |
(VI) | ist größter Winkel im Dreieck | (Satz: höchstens ein rechter Winkel im Dreieck), (IV) |
(VII) | liegt der Seite gegenüber liegt der Seite gegenüber |
(Satz: größter Winkel liegt längsten Seite gegenüber),(V), (VI) |
(VIII) | (SSW), (VII), (IV), (III), (II) | |
(IX) | (VIII), (Def. Dreieckskongruenz) | |
(X) | (IX), (Def. Winkelhalbierende), (Winkeladditionsaxiom) | |
(XI) | Winkelhalbierenden von --> Winkelhalbierende von | (X) |
--> Beh. wahr qed
--
2. Rückrichtung: "Wenn ein Punkt P zur Winkelhalbierenden des Winkels gehört, dann hat er zu den Schenkeln von jeweils denselben Abstand."
VSS: Winkelhalbierende von
Beh:
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | Winkelhalbierende von | (VSS) |
(II) | sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl und B sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl | (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes) |
(III) | es existiert ein Punkt | Winkelkonstruktionsaxiom, (I), (II) |
(IV) | es exisitiert genau eine Gerade durch und , senkrecht auf | Axiom I.1, (II) |