Lösung von Aufgabe 13.5

Man beweise: Ein Punkt $\ P$ gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels $\ \alpha$, wenn er zu den Schenkeln von $\ \alpha$ jeweils denselben Abstand hat.

Versuch 1

Da es sich bei diesem Satz um eine Äquivalenzrelation handelt ("genau dann") muss die "Hin- und Rückrichtung" bewiesen werden.

1. Hinrichtung: "Wenn ein Punkt P zu den Schenkeln von $\alpha$ jeweils denselben Abstand hat, dann gehört er zur Winkelhalbierenden des Winkels $\alpha$."

VSS: $\overline{PB} \cong \overline{PA}$, $\alpha \cong \angle ASB \cong \angle pq$
Beh: $P \in$ Winkelhalbierende von $\alpha$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$A$ sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl $p$ und B sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl $q$	(Existenz und Eindeutigkeit Lot)
(II)	$\overline{PB} \cong \overline{PA}$	(VSS)
(III)	$\overline{SP} \cong \overline{SP}$	(trivial)
(IV)	$|\angle SBP| = |\angle SAP| = 90$	(Definition Lot)
(V)	$\angle SAP$ ist größter Winkel im Dreieck $\overline{SAP}$	(Satz: höchstens ein rechter Winkel im Dreieck), (IV)
(VI)	$\angle SBP$ ist größter Winkel im Dreieck $\overline{SBP}$	(Satz: höchstens ein rechter Winkel im Dreieck), (IV)
(VII)	$\angle SBP$ liegt der Seite $\overline{SP}$ gegenüber $\angle SAP$ liegt der Seite $\overline{SP}$ gegenüber	(Satz: größter Winkel liegt längsten Seite gegenüber),(V), (VI)
(VIII)	$\overline{SBP} \cong \overline{SAP}$	(SSW), (VII), (IV), (III), (II)
(IX)	$\angle ASP \cong \angle BSP$	(VIII), (Def. Dreieckskongruenz)
(X)	$| \angle ASP| + \angle BSP|= \angle ASB|$	(IX), (Def. Winkelhalbierende), (Winkeladditionsaxiom)
(XI)	${SP^{+}} \cong$ Winkelhalbierenden von $\alpha$ --> $P \in$ Winkelhalbierende von $\alpha$	(X)

--> Beh. wahr qed
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2. Rückrichtung: "Wenn ein Punkt P zur Winkelhalbierenden des Winkels $\alpha$ gehört, dann hat er zu den Schenkeln von $\alpha$ jeweils denselben Abstand."

VSS: $P \in$ Winkelhalbierende von $\alpha$ $\alpha \cong \angle ASB \cong \angle pq$
Beh: $\overline{PB} \cong \overline{PA}$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$P \in$ Winkelhalbierende von $\alpha$	(VSS)
(II)	$A$ sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl $p$ und B sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl $q$	(Existenz und Eindeutigkeit des Lotes)
(III)	es existiert ein Punkt $C\in gQ^{+}: | \angle PB^{+},PC^{+}| = 90$	Winkelkonstruktionsaxiom, (I), (II)
(IV)	es exisitiert genau eine Gerade $s$ durch $C$ und $P$, senkrecht auf $g$	Axiom I.1, (II)