Lösung von Aufgabe 2.2 S (SoSe 12): Unterschied zwischen den Versionen

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==Aufgabe 2.2==
 
==Aufgabe 2.2==
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'''Satz: In einem Dreieck <math>\overline{ABC} </math> mit  |AC|< |BC|  < |AB|  sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.
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a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach).<br />
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b) Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade ''c'' jeweils in genau einem Punkt ''S'' geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel <math>\alpha </math> und <math>\beta </math>. Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äuivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)?<br />
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'''a) Welcher Beweis ist korrekt?''' Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)<br /><br />
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#<math>\ a \ \|| \ b \Rightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>
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#<math>\alpha \tilde {=} \beta \Rightarrow \ a \ \|| \ b </math>
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#<math>\|\alpha \|\not= \| \beta \| \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b </math>
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#<math>\ a \ \|| \ b \Leftrightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>
  
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Beweis 1)
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[[Category:Einführung_S]]
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Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br />
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Vor: |AC|< |BC|  < |AB|. <br />
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Beh:  |α|  ≠ |β|<br />
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Bew: Da nach Voraussetzung |AC|  ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α|  ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.
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Beweis 2)
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Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br />
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Vor:  |AC|< |BC|  < |AB|. <br />
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Beh:  |α|  ≠ |β|<br />
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Bew:  Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt:  Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also:  Wenn  |AC|  ≠ |BC|  dann gilt |α|  ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC|  ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α|  ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.<br /><br />
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b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br />
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==== Lösungsvorschlag 1 ====
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a) Wenn zwei parallele Geraden a und b von einer dritten Geraden c geschnitten werden, so sind die auftretenden Stufenwinkel gleich groß.<br />
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b)<br />
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1.) Wenn a parallel zu b, so sind Alpha und Beta kongruent.(entspricht Stufenwinkelsatz)<br />
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2.) Wenn Alpha und Beta kongruent sind, so ist a zu b parallel .(entspricht '''nicht''' Stufenwinkelsatz)<br />
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3.) Wenn Alpha und Beta nicht kongruent sind, so exsistiert ein Punkt S, der Element von a und b ist.(entspricht Sws.)<br />
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*Hier muss man aufpassen, da die Abkürzung Sws für einen anderen Satz benutzt wird. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:09, 29. Apr. 2012 (CEST)<br />
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4.) Genau dann wenn a parallel zu b, sind alpha und beta kongruent.(entspricht '''nicht''' Stufenwinkelsatz)[[Benutzer:Zigzag|Zigzag]]<br />
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*Bitte setzt eure Signatur hinter eure Beiträge. Dazu müsst ihr in der Werkzeugleiste den Button "Deine Signatur mit Zeitstempel" auswählen. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:09, 29. Apr. 2012 (CEST)
  
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==== Lösungsvorschlag 2 ====
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a) Stufenwinkelsatz: Stufenwinkel an geschnitten Parallelen sind kongruent zueinander.<br />
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b)<br />
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1.) Stufenwinkelsatz<br />
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2.) Umkehrung Stufenwinkelsatz<br />
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3.) a und b schneiden sich in einem Punkt S<br />
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4.) Stufenwinkelkriterium<br />
  
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--[[Benutzer:Funkdocta|Funkdocta]] 15:09, 29. Apr. 2012 (CEST)<br />
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*Und welche Aussagen sind jetzt äquivalent zum Stufenwinkelsatz?--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:13, 29. Apr. 2012 (CEST)
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[[Category:Einführung_S]]
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''1) ist äquivalent, Stufenwinkelsatz<br />
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''2) ist äquivalent, Umkehrung des Stufenwinkelsatz<br />
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''3) nicht äquivalent<br />
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''4) ist äquivalent, da Kriterium--[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 15:56, 2. Mai 2012 (CEST)<br />
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*Was bedeutet denn '''äquivalent'''? Vielleicht kann das jemand an dieser Stelle mit einer Wahrheitstabelle verdeutlichen.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 18:09, 2. Mai 2012 (CEST)
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==== Anmerkung zur Aufgabenstellung bei 3 ====
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Es hat in der heutigen Übung etwas irritiert, dass erst S definiert wird als Schnittpunkte der Geraden a und c, sowie b und c. Später wird S dann nochmal in einen anderen Kontext gebracht. Unklar ist, dass beide S anscheinend lediglich Schnittpunkte sind und keinen Zusammenhang besitzen. --[[Benutzer:Mathen00b|Mathen00b]] 12:44, 3. Mai 2012 (CEST)

Aktuelle Version vom 3. Mai 2012, 15:07 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 2.2

a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach).
b) Es seien a und b zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade c jeweils in genau einem Punkt S geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel \alpha und \beta . Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äuivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)?

  1. \ a \ \|| \ b \Rightarrow \alpha \tilde {=} \beta
  2. \alpha \tilde {=} \beta \Rightarrow \ a \ \|| \ b
  3. \|\alpha \|\not= \| \beta \| \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b
  4. \ a \ \|| \ b \Leftrightarrow \alpha \tilde {=} \beta

Lösungsvorschlag 1

a) Wenn zwei parallele Geraden a und b von einer dritten Geraden c geschnitten werden, so sind die auftretenden Stufenwinkel gleich groß.
b)
1.) Wenn a parallel zu b, so sind Alpha und Beta kongruent.(entspricht Stufenwinkelsatz)
2.) Wenn Alpha und Beta kongruent sind, so ist a zu b parallel .(entspricht nicht Stufenwinkelsatz)
3.) Wenn Alpha und Beta nicht kongruent sind, so exsistiert ein Punkt S, der Element von a und b ist.(entspricht Sws.)

  • Hier muss man aufpassen, da die Abkürzung Sws für einen anderen Satz benutzt wird. --Tutor Andreas 15:09, 29. Apr. 2012 (CEST)

4.) Genau dann wenn a parallel zu b, sind alpha und beta kongruent.(entspricht nicht Stufenwinkelsatz)Zigzag

  • Bitte setzt eure Signatur hinter eure Beiträge. Dazu müsst ihr in der Werkzeugleiste den Button "Deine Signatur mit Zeitstempel" auswählen. --Tutor Andreas 15:09, 29. Apr. 2012 (CEST)

Lösungsvorschlag 2

a) Stufenwinkelsatz: Stufenwinkel an geschnitten Parallelen sind kongruent zueinander.
b)
1.) Stufenwinkelsatz
2.) Umkehrung Stufenwinkelsatz
3.) a und b schneiden sich in einem Punkt S
4.) Stufenwinkelkriterium

--Funkdocta 15:09, 29. Apr. 2012 (CEST)

  • Und welche Aussagen sind jetzt äquivalent zum Stufenwinkelsatz?--Tutor Andreas 15:13, 29. Apr. 2012 (CEST)


1) ist äquivalent, Stufenwinkelsatz
 2) ist äquivalent, Umkehrung des Stufenwinkelsatz
 3) nicht äquivalent
 4) ist äquivalent, da Kriterium--Braindead 15:56, 2. Mai 2012 (CEST)

  • Was bedeutet denn äquivalent? Vielleicht kann das jemand an dieser Stelle mit einer Wahrheitstabelle verdeutlichen.--Tutor Andreas 18:09, 2. Mai 2012 (CEST)

Anmerkung zur Aufgabenstellung bei 3

Es hat in der heutigen Übung etwas irritiert, dass erst S definiert wird als Schnittpunkte der Geraden a und c, sowie b und c. Später wird S dann nochmal in einen anderen Kontext gebracht. Unklar ist, dass beide S anscheinend lediglich Schnittpunkte sind und keinen Zusammenhang besitzen. --Mathen00b 12:44, 3. Mai 2012 (CEST)

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