Lösung von Aufgabe 2.4 (SoSe 12 P)

a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach).
b) Es seien a und b zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade c jeweils in genau einem Punkt S geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel $\alpha$ und $\beta$. Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äuivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)?

1. $\ a \ \|| \ b \Rightarrow \alpha \tilde {=} \beta$
2. $\alpha \tilde {=} \beta \Rightarrow \ a \ \|| \ b$
3. $\|\alpha \|\not= \| \beta \| \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b$
4. $\ a \ \|| \ b \Leftrightarrow \alpha \tilde {=} \beta$

a)
zwei nichtidentische geraden a und b werden von einer dritten geraden geschnitten.
wenn die geraden a und b parallel zueinander sind, so sind die dabei entstandenen stufenwinkel und kongruent zueinander.--Studentin 00:29, 25. Apr. 2012 (CEST)

b)
1. ist der stufenwinkelsatz:
formal: $\ A \Rightarrow B$
kurzfassung: wenn a und b parallel, dann stufenwinkel kongruente zueinander--Studentin 00:29, 25. Apr. 2012 (CEST)

2. umkehrung des stufenwinkelsatzes:
formal:$\ B \Rightarrow A$
kurzfassung: wenn stufenwinkel kongruent zueinander, dann a und b parallel--Studentin 00:29, 25. Apr. 2012 (CEST)

3. kontraposition:
formal: $\neg B \Rightarrow \neg A$
kurzfassung: wenn stufenwinkel nicht kongruent zueinander, dann existiert ein schnittpunkt (a und b nicht parallel)--Studentin 00:29, 25. Apr. 2012 (CEST)

4. da 1. (der satz) und 2. (seine umkehrung) wahr sind,
kann man formal schreiben: $\ A \Leftrightarrow B$
kurzfassung:a und b parallel genau dann, wenn stufenwinkel kongruent zueinander.--Studentin 00:29, 25. Apr. 2012 (CEST)