Lösung von Aufgabe 2.4 (SoSe 12 P)

a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach).
b) Es seien a und b zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade c jeweils in genau einem Punkt S geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel $\alpha$ und $\beta$. Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äquivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)?

1. $\ a \ \|| \ b \Rightarrow \alpha \tilde {=} \beta$
2. $\alpha \tilde {=} \beta \Rightarrow \ a \ \|| \ b$
3. $\|\alpha \|\not= \| \beta \| \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b$
4. $\ a \ \|| \ b \Leftrightarrow \alpha \tilde {=} \beta$

a)
zwei nichtidentische geraden a und b werden von einer dritten geraden geschnitten.
wenn die geraden a und b parallel zueinander sind, so sind die dabei entstandenen stufenwinkel und kongruent zueinander.--Studentin 00:29, 25. Apr. 2012 (CEST)

b)
1. ist der stufenwinkelsatz:
formal: $\ A \Rightarrow B$
kurzfassung: wenn a und b parallel, dann stufenwinkel kongruente zueinander--Studentin 00:29, 25. Apr. 2012 (CEST)

2. umkehrung des stufenwinkelsatzes:
formal:$\ B \Rightarrow A$
kurzfassung: wenn stufenwinkel kongruent zueinander, dann a und b parallel--Studentin 00:29, 25. Apr. 2012 (CEST)

3. kontraposition:
formal: $\neg B \Rightarrow \neg A$
kurzfassung: wenn stufenwinkel nicht kongruent zueinander, dann existiert ein schnittpunkt (a und b nicht parallel)--Studentin 00:29, 25. Apr. 2012 (CEST)

4. da 1. (der satz) und 2. (seine umkehrung) wahr sind,
kann man formal schreiben: $\ A \Leftrightarrow B$
kurzfassung:a und b parallel genau dann, wenn stufenwinkel kongruent zueinander.--Studentin 00:29, 25. Apr. 2012 (CEST)

Interessante Beiträge, User Studentin! Danke. Frage an alle aus b): Welche der Aussagen sind nun äquivalent?--Tutorin Anne 11:18, 28. Apr. 2012 (CEST)

ich würde sagen, äquivalent sind 1 und 3: der stufenwinkelsatz und seine kontraposition:$\ A \Rightarrow B$ $\Leftrightarrow$ $\neg B \Rightarrow \neg A$--Studentin 13:25, 28. Apr. 2012 (CEST)

Was die Lösungen der Aufgaben angeht, so habe ich es ganz ähnlich.
@Studentin: Aber wenn 1. äquivalent ist, dann muss doch auch 2. äquivalent sein, oder? (Bilden nicht Aufgabe b1 UND Aufgabe b2 gleichermaßen die Aquivalenz?- weiß nicht, ob ich das verständlich ausgedrückt habe)--Honeydukes 01:15, 29. Apr. 2012 (CEST)

äquivalent ist dieses:
$\ A \Rightarrow B$ $\Leftrightarrow$ $\neg B \Rightarrow \neg A$
ich bin mir nicht sicher was du meinst - ich denke dies:
$\ B \Rightarrow A$ $\Leftrightarrow$$\neg B \Rightarrow \neg A$
und dies stimmt ja so nicht.--Studentin 12:16, 29. Apr. 2012 (CEST)

Ich meine
$\ A \Rightarrow B$
$\ \wedge$ $\ B \Rightarrow A$
.
Das ist doch dann $\ A \Leftrightarrow B$
,oder nicht? --Honeydukes 14:51, 30. Apr. 2012 (CEST)

das hier ist auch ne äquivalenz, würde ich sagen:
($\ A \Rightarrow B$$\ \wedge$$\ B \Rightarrow A$) $\Leftrightarrow$ ($\ A \Leftrightarrow B$)
aber gefragt war ja: "Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äquivalente Aussage?", also eine zum stufenwinkelsatz äquivalente aussage ist gesucht.--Studentin 22:28, 30. Apr. 2012 (CEST)

Ja, also dann sind nur 1. und 3. (der Satz und seine Kontraposition) äquivalent.--Honeydukes 23:48, 2. Mai 2012 (CEST)
So ist es, super Diskussion - danke!--Tutorin Anne 12:42, 4. Mai 2012 (CEST)