Lösung von Aufgabe 2.8 SoSe 2018: Unterschied zwischen den Versionen

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Der Höhensatz für rechtwinklige Dreiecke lautet:<br />
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'''Satz: (Höhensatz)'''<br />
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: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt des Quadrates über der Höhe <math>h_c</math> auf die Hypotenuse so groß, wie der Flächeninhalt des Rechtecks, dessen Seitenlängen den Hypotenusenabschnitten <math>q</math> und <math>p</math> entsprechen. <br />
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Kurz: <math>h_c^2=q \cdot p</math><br />
  
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Beweisen Sie den Höhensatz unter Verwendung des Satzes von Pythagoras.<br />
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=Lösung=
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# Es sei <math> \overline{ABC}</math> ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel <math>\gamma = \angle ACB</math>.
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# Die Höhe <math>h</math> von <math>C</math> auf die Seite <math>c=\overline{AB}</math> habe auf <math>c</math> den Fußpunkt <math>~L</math>.
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# <math> ~L</math> teilt die Hypotenuse <math>c</math> in die beiden Hypotenusenabschnitte <math>q:= \overline{AL}</math> und <math>p:= \overline{LB}</math>.
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# Es gilt also <math>c=q+p</math>.
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# Weil die Höhe <math>h</math> senkrecht auf der Hypotenuse <math>c</math> steht, entstehen die zwei rechtwinklige Teildreiecke <math>\overline{ALC}</math> und <math>\overline{BLC}</math>.
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# Im rechtwinkligen Teildreieck <math>\overline{ALC}</math> ist <math>a= \overline{AC}</math> die Hypotenuse und <math>\angle ALC</math> der rechte Winkel.
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# Im rechtwinkligen Teildreieck <math>\overline{BLC}</math> ist <math>b= \overline{BC}</math> die Hypotenuse und <math>\angle BLC</math> der rechte Winkel.
  
 
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Version vom 22. Mai 2018, 13:07 Uhr

Aufgabe 2.8 SoSe 2018

Der Höhensatz für rechtwinklige Dreiecke lautet:
Satz: (Höhensatz)

In jedem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt des Quadrates über der Höhe h_c auf die Hypotenuse so groß, wie der Flächeninhalt des Rechtecks, dessen Seitenlängen den Hypotenusenabschnitten q und p entsprechen.

Kurz: h_c^2=q \cdot p

Beweisen Sie den Höhensatz unter Verwendung des Satzes von Pythagoras.

Lösung

  1. Es sei \overline{ABC} ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel \gamma = \angle ACB.
  2. Die Höhe h von C auf die Seite c=\overline{AB} habe auf c den Fußpunkt ~L.
  3. ~L teilt die Hypotenuse c in die beiden Hypotenusenabschnitte q:= \overline{AL} und p:= \overline{LB}.
  4. Es gilt also c=q+p.
  5. Weil die Höhe h senkrecht auf der Hypotenuse c steht, entstehen die zwei rechtwinklige Teildreiecke \overline{ALC} und \overline{BLC}.
  6. Im rechtwinkligen Teildreieck \overline{ALC} ist a= \overline{AC} die Hypotenuse und \angle ALC der rechte Winkel.
  7. Im rechtwinkligen Teildreieck \overline{BLC} ist b= \overline{BC} die Hypotenuse und \angle BLC der rechte Winkel.
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