Lösung von Aufgabe 2.8 SoSe 2018: Unterschied zwischen den Versionen

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# Im rechtwinkligen Teildreieck <math>\overline{ALC}</math> ist <math>a= \overline{AC}</math> die Hypotenuse und <math>\angle ALC</math> der rechte Winkel.
 
# Im rechtwinkligen Teildreieck <math>\overline{ALC}</math> ist <math>a= \overline{AC}</math> die Hypotenuse und <math>\angle ALC</math> der rechte Winkel.
 
# Im rechtwinkligen Teildreieck <math>\overline{BLC}</math> ist <math>b= \overline{BC}</math> die Hypotenuse und <math>\angle BLC</math> der rechte Winkel.
 
# Im rechtwinkligen Teildreieck <math>\overline{BLC}</math> ist <math>b= \overline{BC}</math> die Hypotenuse und <math>\angle BLC</math> der rechte Winkel.
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Version vom 22. Mai 2018, 13:15 Uhr

Aufgabe 2.8 SoSe 2018

Der Höhensatz für rechtwinklige Dreiecke lautet:
Satz: (Höhensatz)

In jedem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt des Quadrates über der Höhe h_c auf die Hypotenuse so groß, wie der Flächeninhalt des Rechtecks, dessen Seitenlängen den Hypotenusenabschnitten q und p entsprechen.

Kurz: h_c^2=q \cdot p

Beweisen Sie den Höhensatz unter Verwendung des Satzes von Pythagoras.

Lösung

  1. Es sei \overline{ABC} ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel \gamma = \angle ACB.
  2. Die Höhe h von C auf die Seite c=\overline{AB} habe auf c den Fußpunkt ~L.
  3. ~L teilt die Hypotenuse c in die beiden Hypotenusenabschnitte q:= \overline{AL} und p:= \overline{LB}.
  4. Es gilt also c=q+p.
  5. Weil die Höhe h senkrecht auf der Hypotenuse c steht, entstehen die zwei rechtwinklige Teildreiecke \overline{ALC} und \overline{BLC}.
  6. Im rechtwinkligen Teildreieck \overline{ALC} ist a= \overline{AC} die Hypotenuse und \angle ALC der rechte Winkel.
  7. Im rechtwinkligen Teildreieck \overline{BLC} ist b= \overline{BC} die Hypotenuse und \angle BLC der rechte Winkel.

\begin{matrix} \text{Nr.} & \text{Beweisschritt} & \text{Begründung} \\ (I) & a^2+b^2=c^2 & \text{1. und Satz des Pythagoras für } \overline{ABC} \\ (II) & q^2 + h^2 = b^2 & \text{ 6. und Satz des Pythagoras für } \overline{ALC} \\ (III) & q^2 + h^2 = a^2 & \text{ 7. und Satz des Pythagoras für } \overline{BLC} \\ (IV) & a^2+b^2=(q+p)^2 & \text{4. und (I)} \\ \end{matrix}

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