Lösung von Aufgabe 2.9 SoSe 2018: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir setzen ebene Geometrie voraus.<br />
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'''Satz: Tangentenkriterium'''<br />
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: Es seien <math>g</math> eine Gerade und <math>k</math> ein Kreis  mit dem Mittelpunkt <math>M</math>. Ferner sei <math>B</math> ein Punkt, den die Gerade <math>g</math> mit dem Kreis <math>k</math> gemeinsam hat. <br />
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: (*) <math>k \cap g = \{B\} \Leftrightarrow g \perp \overline{MB} </math>
  
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a) Aussage (*) beinhaltet zwei Aussagen <math>(\Rightarrow</math> und <math>\Leftarrow )</math>. Formulieren Sie beide Aussagen so, dass sie auch Schüler einer neunten Klasse Werkrealschule verstehen können.<br />
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b) Beweisen Sie die Aussage <math>\Leftarrow </math> mittels eines Widerspruchsbeweises.<br />
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=Lösung=
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==Teilaufgabe a)==
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# Wenn eine Gerade Tangente <math>t</math> im Punkt <math>B</math> an den Kreis <math>k</math> mit dem Mittelpunkt <math>M</math> ist, dann steht <math>t</math> senkrecht auf dem Berührungsradius <math> ~\overline{MB}</math>.
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# Wenn eine Gerade <math>t</math> den Kreis <math>k</math> mit dem Mittelpunkt <math>M</math> im Punkt <math>B</math> schneidet und senkrecht auf der Strecke <math> ~\overline{MB}</math> steht, dann ist die gerade <math>t</math> Tangente an den Kreis <math>k</math>.
  
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==Teilaufgabe b)==
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===Voraussetzung===
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\begin{matrix}
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\text{I} & B \in t \land B \in k \\
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\text{II} & t \perp \overline{MB} \\
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\end{matrix}
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</math>
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===Behauptung===
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<math>\neg \exist A \in k \cap t : A \not\equiv B</math>
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===Annahme===
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<math> \exist A \in k \cap t : A \not\equiv B</math>
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===Beweis===
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Das Dreieck <math>\overline{ABM}</math> ist gleichschenklig, weil <math>~\overline{MA}</math> und <math>~\overline{MB}</math> Radien von <math>k</math> sind. Die Winkel <math>\angle MBA</math> und <math>\angle MAB</math> sind die Basiwinkel dieses Dreiecks. Weil nach <math>\text{II}</math> der Winkel <math>\angle MBA</math> ein Rechter ist muss nach dem Basiswinkelsatz auch der Winkel <math>\angle MAB </math> ein Rechter sein. Das wäre jedoch ein Widerspruch zum Innenwinkelsatz für Dreiecke.
 
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Aktuelle Version vom 22. Mai 2018, 13:49 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 2.9 SoSe 2018

Wir setzen ebene Geometrie voraus.
Satz: Tangentenkriterium

Es seien g eine Gerade und k ein Kreis mit dem Mittelpunkt M. Ferner sei B ein Punkt, den die Gerade g mit dem Kreis k gemeinsam hat.
(*) k \cap g = \{B\} \Leftrightarrow g \perp \overline{MB}

a) Aussage (*) beinhaltet zwei Aussagen (\Rightarrow und \Leftarrow ). Formulieren Sie beide Aussagen so, dass sie auch Schüler einer neunten Klasse Werkrealschule verstehen können.
b) Beweisen Sie die Aussage \Leftarrow mittels eines Widerspruchsbeweises.

Lösung

Teilaufgabe a)

  1. Wenn eine Gerade Tangente t im Punkt B an den Kreis k mit dem Mittelpunkt M ist, dann steht t senkrecht auf dem Berührungsradius ~\overline{MB}.
  2. Wenn eine Gerade t den Kreis k mit dem Mittelpunkt M im Punkt B schneidet und senkrecht auf der Strecke ~\overline{MB} steht, dann ist die gerade t Tangente an den Kreis k.

Teilaufgabe b)

Voraussetzung

\begin{matrix} \text{I} & B \in t \land B \in k \\ \text{II} & t \perp \overline{MB} \\ \end{matrix}

Behauptung

\neg \exist A \in k \cap t : A \not\equiv B

Annahme

\exist A \in k \cap t : A \not\equiv B

Beweis

Das Dreieck \overline{ABM} ist gleichschenklig, weil ~\overline{MA} und ~\overline{MB} Radien von k sind. Die Winkel \angle MBA und \angle MAB sind die Basiwinkel dieses Dreiecks. Weil nach \text{II} der Winkel \angle MBA ein Rechter ist muss nach dem Basiswinkelsatz auch der Winkel \angle MAB ein Rechter sein. Das wäre jedoch ein Widerspruch zum Innenwinkelsatz für Dreiecke.

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