Lösung von Aufgabe 2.9 SoSe 2018

Aufgabe 2.9 SoSe 2018 Wir setzen ebene Geometrie voraus. Satz: Tangentenkriterium Es seien $g$ eine Gerade und $k$ ein Kreis mit dem Mittelpunkt $M$. Ferner sei $B$ ein Punkt, den die Gerade $g$ mit dem Kreis $k$ gemeinsam hat. (*) $k \cap g = \{B\} \Leftrightarrow g \perp \overline{MB}$ a) Aussage (*) beinhaltet zwei Aussagen $(\Rightarrow$ und $\Leftarrow )$. Formulieren Sie beide Aussagen so, dass sie auch Schüler einer neunten Klasse Werkrealschule verstehen können. b) Beweisen Sie die Aussage $\Leftarrow$ mittels eines Widerspruchsbeweises. Lösung Teilaufgabe a) Wenn eine Gerade Tangente $t$ im Punkt $B$ an den Kreis $k$ mit dem Mittelpunkt $M$ ist, dann steht $t$ senkrecht auf dem Berührungsradius $~\overline{MB}$. Wenn eine Gerade $t$ den Kreis $k$ mit dem Mittelpunkt $M$ im Punkt $B$ schneidet und senkrecht auf der Strecke $~\overline{MB}$ steht, dann ist die gerade $t$ Tangente an den Kreis $k$. Teilaufgabe b) Voraussetzung $\begin{matrix} \text{I} & B \in t \land B \in k \\ \text{II} & t \perp \overline{MB} \\ \end{matrix}$ Behauptung $\neg \exist A \in k \cap t : A \not\equiv B$ Annahme $\exist A \in k \cap t : A \not\equiv B$ Beweis Das Dreieck $\overline{ABM}$ ist gleichschenklig, weil $~\overline{MA}$ und $~\overline{MB}$ Radien von $k$ sind. Die Winkel $\angle MBA$ und $\angle MAB$ sind die Basiwinkel dieses Dreiecks. Weil nach $\text{II}$ der Winkel $\angle MBA$ ein Rechter ist muss nach dem Basiswinkelsatz auch der Winkel $\angle MAB$ ein Rechter sein. Das wäre jedoch ein Widerspruch zum Innenwinkelsatz für Dreiecke.