Lösung von Aufgabe 3.2 (SoSe 13 P): Unterschied zwischen den Versionen
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b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br /> | b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br /> | ||
| − | Ein Versuch: | + | Ein Versuch:<br /> |
| − | Vor: |AC|< |BC| < |AB|. | + | Vor: |AC|< |BC| < |AB|. <br /> |
| − | Beh: |α| = |β| | + | Beh: |α| = |β|<br /> |
| − | 1. ∣α∣ = ∣β∣ (Behauptung) | + | 1. ∣α∣ = ∣β∣ (Behauptung)<br /> |
| − | 2. ∣α∣ = ∣β∣ ⇒ ∣AC∣ = ∣BC∣ (Basiswinkelsatz) | + | 2. ∣α∣ = ∣β∣ ⇒ ∣AC∣ = ∣BC∣ (Basiswinkelsatz)<br /> |
| − | 3. ∣AC∣ < ∣BC∣ (Voraussetzung) | + | 3. ∣AC∣ < ∣BC∣ (Voraussetzung)<br /> |
| − | 4. ∣AC∣ = ∣BC∣ (2.) | + | 4. ∣AC∣ = ∣BC∣ (2.) <br /> |
Widerspruch zur Voraussetzung. | Widerspruch zur Voraussetzung. | ||
| − | Behauptung ist zu verwerfen. | + | Behauptung ist zu verwerfen.<br /> |
q.e.d. --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 17:29, 6. Mai 2013 (CEST)<br /> | q.e.d. --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 17:29, 6. Mai 2013 (CEST)<br /> | ||
Version vom 6. Mai 2013, 17:31 Uhr
Satz: In einem Dreieck 
mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.
a) Welcher Beweis ist korrekt? Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)
Beweis 1)
Sei ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Da nach Voraussetzung |AC| ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.
- Dies ist kein korrekter Beweis, da hier nicht auf die Kontraposition eingegangen wird.--Nolessonlearned 12:46, 6. Mai 2013 (CEST)
Beweis 2)
Sei ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.
- Hierbei handelt es sich um einen korrekten Beweis, da hier ausführlich auf die Kontraposition eingegangen wird.--Nolessonlearned 12:48, 6. Mai 2013 (CEST)
b) Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.
Ein Versuch:
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| = |β|
1. ∣α∣ = ∣β∣ (Behauptung)
2. ∣α∣ = ∣β∣ ⇒ ∣AC∣ = ∣BC∣ (Basiswinkelsatz)
3. ∣AC∣ < ∣BC∣ (Voraussetzung)
4. ∣AC∣ = ∣BC∣ (2.)
Widerspruch zur Voraussetzung.
Behauptung ist zu verwerfen.
q.e.d. --Nolessonlearned 17:29, 6. Mai 2013 (CEST)
