Lösung von Aufgabe 3.5 S (SoSe 12)

Aufgabe 3.5

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:
Es seien a, b und c drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: $\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c$ .
b) Welche Eigenschaft der Relation $\||$ auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?

Lösungsvorschlag 1

a)
Voraussetzung: a,b,c sind paarweise verschiedene Geraden

Behauptung: $\ a \|| c$

Annahme: $\exists P:P\in a \wedge P\in c$

Beweis:
(1) $\ a \|| b$ Voraussetzung
(2) $\ b \|| c$ Voraussetzung
(3) $\ P\in a$ Annahme (Parallelenaxiom Schnittpunkt mit a)
(4) $\ P\in c$ Annahme (Parallelenaxiom Schnittpunkt mit c)
(5) $\ P\in a \wedge P\in c$ (3),(4) da Punkt P sowohl auf a, als auch auf c liegt ist das ein Widerspruch zur Voraussetzung. --Goliath 17:03, 3. Mai 2012 (CEST)
Der Beweis ist meiner Meinung nach noch nicht richtig, denn du hast keinen Widerspruch zur VSS (a,b,c sind paarweise verschiedene Geraden). Vielleicht hast du auch die richtige Idee und es ist nur beim Niederschreiben verloren gegangen... --Tutor Andreas 18:25, 3. Mai 2012 (CEST)