Lösung von Aufgabe 4.1 S (SoSe 12): Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 22. Mai 2012, 13:47 Uhr

Aufgabe 4.1

Es sei P die Menge der Punkte und G die Menge der Geraden. Wir betrachten folgendes Modell:
P = {A,B,C,D}
G = {{A,B}, {A,C}, {A,D}, {B,C}, {B,D}, {C,D}}


Ich mach mal vorsichtshalber eine Ergänzung: Unter Inzidenz wollen wir die Elementbeziehung verstehen: Also Punkt inzidiert mit Gerade , wenn er zur Menge der Punkte gehört, die die Gerade bildet.--*m.g.* 13:49, 14. Mai 2012 (CEST)
(War sicher klar, muss man korrekterweise beim Modell aber dazu sagen.)


a) Veranschaulichen Sie das Modell durch eine Skizze.
b) Sind bei dem Modell die Axiome I.0 bis I.3 erfüllt?

Lösungsvorschlag 1

a)

Modell 1

Modell 2

Das Modell

--Tchu Tcha Tcha 19:26, 13. Mai 2012 (CEST)

Dieses Modell entspricht nicht den Vorgaben aus der Aufgabe, denn die erste Teilmenge aus G enthält nicht die Punkte C und D. Das bedeutet, dass C und D nicht mit der Geraden AB inzidieren.--Tutor Andreas 13:02, 15. Mai 2012 (CEST)
OK, verstehe ;-) danke!--Tchu Tcha Tcha 20:03, 17. Mai 2012 (CEST)

In der Aufgabenstellung steht Gerade (Einzahl) und nicht Geraden. Dann sind jedoch verschiedene Mengen von Geraden vorgegeben. Von was soll man jetzt ausgehen?--H2O 23:22, 18. Mai 2012 (CEST)
Ich habe es verbessert. Danke für den Hinweis. Es muss natürlich Geraden heißen.--Tutor Andreas 13:47, 22. Mai 2012 (CEST)

Kommentar von H2O

B.)da nicht ausgeschlossen ist,dass die Punkte ABCD Teil der Punktmengen einer Geraden sind , trifft Axiom 3 nicht unbedingt zu.--H2O 16:01, 14. Mai 2012 (CEST)

Die Formulierung nicht unbedingt finde ich noch zu vage. Trauen Sie sich ruhig mehr zu.--*m.g.* 17:03, 14. Mai 2012 (CEST)

Vielleicht kollidiert das Ganze noch viel früher als erst bei Axiom 3?--*m.g.* 17:03, 14. Mai 2012 (CEST)

Wenn ABCD Teil der Punktmengen sind, dann sind sie kollinar, somit ist I3 nicht füllt.

Wenn ABCD Viereck, dann inzidiert jeder Punkt mit zwei Geraden, somit I1 nicht erfüllt.

--H2O 18:23, 14. Mai 2012 (CEST)

@Wurzel/H2O I/1 sagt aus, dass je zwei verschiedene Punkte mit genau einer Geraden inzidieren. Warum sollte es ein Widerspruch zu I/1 sein, wenn jeder Punkt auf zwei Geraden liegt? --*m.g.* 23:19, 14. Mai 2012 (CEST)
Die Formulierung Wenn ABCD Teil der Punktmengen sind, trifft es nicht ganz. "Wenn" kann ich auch als "Falls" lesen: Falls ABCD ... Das Problem ist doch, dass alle unsere Punkte auf ein und derselben Geraden liegen, ohne wenn und aber. Also alle unsere Punkte bilden eine Menge kollinearer Punkte. Demzufolge--H2O 12:07, 17. Mai 2012 (CEST) kann I/3 nicht erfüllt sein: Es gibt in dem Modell schlicht und einfach keine drei paarweise verschiedenen Punkte, die nicht kollinear wären.--*m.g.* 23:27, 14. Mai 2012 (CEST)

Was wäre wenn A=B=C=D?

H2O

Wenn A=B=C=D dann ist auch I1 nicht erfüllt I2 wäre erfüllt

--*m.g.* 16:53, 17. Mai 2012 (CEST)

Stimmt so leider nicht. Nehmen wir an, jemand baut ein Modell, welches vier Punkte enthält, die alle identisch wären. (Gilt ja für die hier aufgestellten Modelle nicht.) Die Geraden wären entsprechend unseres Modells zweielementige Mengen von Punkten. Da alle Punkte identisch sind, würde jede der vier Geraden aus genau einem Punkt bestehen (zudem wären alle Geraden identisch, weil es sich ja letztlich um ein und denselben Punkt handelt.) Damit wäre das Axiom I/2 nicht erfüllt: Auf jeder Geraden gibt es (wenigstens) zwei verschiedene Punkte. Unsere Gerade(n) würden ja nur einen einzigen Punkt beinhalten. Andererseits (und jetzt wird es richtig verrückt) wäre I/1 nicht verletzt. I/1 sagt ja aus, dass es zu je zwei verschiedenen Punkten genau eine Gerade gibt, die durch die beiden Punkte geht. Zum besseren Verständnis I/1 noch mal in Wenn-Dann: Wenn A und B zwei verschiedene Punkte sind, dann gibt es genau eine Gerade, die sowohl durch A als auch durch B geht. Da es aber gar keine zwei verschiedenen Punkte in unserem Modell geben würde, wäre I/1 auch nicht verletzt. Dieses wäre nur dann der Fall, wenn es zwei verschiedene Punkte A und B geben würde zu denen es keine oder mehrere Geraden geben würde, die sowohl durch A als auch durch B gehen. Ich weiß das ist heftig, aber Stück für Stück werden Sie es schon verstehen. Lassen Sie sich auf keinen Fall entmutigen, es kommen auch wieder weniger abstrakte Lehrinhalte. Vielleicht hilft Ihnen das folgende Video ein wenig bezüglich des Arbeitens mit Modellen:

--*m.g.* 16:50, 17. Mai 2012 (CEST) Ach so im nachhinein noch folgende Bemerkung: Ich glaube Sie verstehen die Geraden des Modells nicht richtig. Die Geraden so wie wir sie gewohnt sind in der üblichen Geometrie dienen in den Geogebraapplikationen nur als Verdeutlichung. Sie sind nach dem Modell jedoch nur Mengen die jeweils aus genau zwei Punkten bestehen. Der "Strich" durch die jeweiligen zwei Punkte in der Applikation verdeutlich welche Punklte jeweils zusammengefasst werden, er ist nicht die Modellgerade.--*m.g.* 17:00, 17. Mai 2012 (CEST)

Nemo81 ist sich nicht sicher

Also ich brauch noch mal Hilfe! Bei Modell 2 ist AxiomI/0 erfüllt, AxionI/1 auch (es sind zwar mehr als ein Punkt aber es geht ja nur eine Gerade durch), ich denke Axiom I/2 auch, nur Axiom I/3 ist nicht erfüllt, weil ja alle Punkte A,B,C,d kollinear sind. Ist das jetzt so richtig oder liege ich falsch.--Nemo81 12:43, 19. Mai 2012 (CEST) @Nemo81 Sie haben völlig Recht. (Das mit dem Axiom I/0 lassen wir mal außen vor.) Axiom I/1 sagt aus, dass durch je zwei verschiedene Punkte genau eine Gerade geht. Da wir nur eine Gerade haben und diese durch alle unsere 4 Punkte geht können wir beliebig Paare aus unseren 4 Punkten bilden, in jedem Fall geht genau eine Gerade durch die beiden ausgewählten Punkte nämlich gerade die einzige Gerade, die unser Modell enthält. Unsere einzige Gerade enthält alle unsere vier Punkte, also auch zwei verschiedene. Da unser Axiom I/2 nicht fordert, dass jede Gerade genau zwei verschiedene sondern wenigstens zwei verschiedene Punkte enthält, ist I/2 selbstverständlich erfüllt. Da alle unsere vier Punkte auf ein und derselben Geraden liegen, beinhaltet unser Modell keine drei nichtkollinearen Punkte, weshalb wir konstatieren müssen, dass I/3 nicht erfüllt ist. Viel Erfolg weiterhin bei der Axiomatik --*m.g.* 18:28, 19. Mai 2012 (CEST) und bei Modell 1 sind die Axiome I/0 bis I/3 erfüllt, ist das so richtig?