Lösung von Aufgabe 4.3 S (SoSe 12)

Aufgabe 4.3

Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

1. Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien $A$, $B$ und $C$ drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn $A$,$B$ und $C$ … , dann … .“
2. Beweisen Sie Satz I indirekt mit Widerspruch.
3. Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
4. Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
5. Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
6. Gilt auch die Umkehrung von Satz I?

Lösungsvorschlag 1:

1) „Wenn $A$,$B$ und $C$ nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden.“

2)
Voraussetzung: nkoll (A,B,C)
Behauptung: A,B und C sind paarweise verschieden
Annahme: 2 Punkte sind nicht paarweise verschieden (Widerspruch zur Behauptung..)

	Beweisschritt	Begründung
(1)	$\operatorname{nkoll}(A, B, C)$	Voraussetzung
(2)	oBdA: $A=B$ ; $A \neq C$	Annahme
(3)	$\exists g:g=AC$	(2), Axiom I/1
(4)	$\operatorname{koll}(A, B, C)$	(2), (3), Def. kollinear
(5)	Widerspruch zur Voraussetzung	(4), (1)
(6)	Behauptung stimmt	(5)

3) „Wenn $A$,$B$ und $C$ nicht paarweise verschieden sind, dann sind sie kollinear.“

4)
Voraussetzung: mindestens 2 der 3 Punkte (A,B,C) sind identisch
Behauptung: koll (A,B,C)

	Beweisschritt	Begründung
(1)	oBdA: $A=B ; A \neq C$	Voraussetzung
(2)	$\exists g:g=AC$	(1), Axiom I/1
(3)	$\operatorname{koll}(A, B, C)$	(1), (2), Def. kollinear

5) „Wenn $A$,$B$ und $C$ paarweise verschieden sind, dann sind sie nicht kollinear.“

6) Die Umkehrung von Satz I gilt NICHT!!! (siehe Gegenbeispiel)

--Tchu Tcha Tcha 19:12, 13. Mai 2012 (CEST)