Lösung von Aufgabe 5.10 S SoSe 13: Unterschied zwischen den Versionen

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Je drei der vier Punkte dürfen nicht kollinear sein, da sie sonst mit dem vierten Punkt immer in ein und derselben Ebene liegen würden und somit komplanar wären. Dies ist aber ein Widerspruch zur Voraussetzung nkomp(A,B,C,D).
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Nach Axiom I/4 bilden die Punkte A,B,C eine Ebene E, welche Punkt D nicht enthält. Wenn Punkt D auch in dieser Ebene liegen würde, dann wären die vier Punkte wieder komplanar, was unserer Voraussetzung widersprechen würde.
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nkomp(A,B,C,D) <math>\Rightarrow</math> (nach Definition I/4 und Axiom I/4) <math>\exists</math> Ebene E: A,B,C <math>\in</math> E <math>\wedge D \not\in  E</math>
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Annahme: koll(A,B,C) <math>\Rightarrow</math> <math>\exists</math> Gerade g: A,B,C <math>\in</math> g
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D <math>\not\in</math> g <math>\Rightarrow</math> <math>\exists</math> Ebene F: D <math>\in</math> F <math>\wedge</math> g <math>\in</math> F <math>\Rightarrow</math> A,B,C,D <math>\in</math> F <math>\Rightarrow</math> komp(A,B,C,D) <math>\Rightarrow</math> Widerspruch zur Voraussetzung
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<math>\Rightarrow</math> nkoll(A,B,C)  q.e.d.
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Version vom 31. Mai 2013, 00:24 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 5.10

Es seien A, B, C, D vier paarweise verschiedene Punkte.
Beweisen Sie:
\operatorname{nKomp}(A, B, C, D) \Rightarrow \operatorname{nKoll}(A, B, C)

Lösung von Aufgabe 5.10 S SoSe 13

Lösung User --Illu13 00:24, 31. Mai 2013 (CEST)

Je drei der vier Punkte dürfen nicht kollinear sein, da sie sonst mit dem vierten Punkt immer in ein und derselben Ebene liegen würden und somit komplanar wären. Dies ist aber ein Widerspruch zur Voraussetzung nkomp(A,B,C,D). Nach Axiom I/4 bilden die Punkte A,B,C eine Ebene E, welche Punkt D nicht enthält. Wenn Punkt D auch in dieser Ebene liegen würde, dann wären die vier Punkte wieder komplanar, was unserer Voraussetzung widersprechen würde.

nkomp(A,B,C,D) \Rightarrow (nach Definition I/4 und Axiom I/4) \exists Ebene E: A,B,C \in E \wedge D \not\in E

Annahme: koll(A,B,C) \Rightarrow \exists Gerade g: A,B,C \in g

D \not\in g \Rightarrow \exists Ebene F: D \in F \wedge g \in F \Rightarrow A,B,C,D \in F \Rightarrow komp(A,B,C,D) \Rightarrow Widerspruch zur Voraussetzung

\Rightarrow nkoll(A,B,C) q.e.d.

--Illu13 00:24, 31. Mai 2013 (CEST)

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