Lösung von Aufgabe 5.1P (SoSe 12)

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:
Es seien a, b und c drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: $\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c$ .
b) Welche Eigenschaft der Relation $\||$ auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?

a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: $\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c$ .
$\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c$ .
für den widerspruchsbeweis nehme ich nun
1. die behauptung:$\ a \|| b \wedge b \|| c$
und
2. die annahme (gegenteil der behauptung):$a\not \parallel c$,
um sie zu einem widerspruch zu führen.

wenn a und c nicht parallel sind, haben sie einen schnittpunkt.
es ist gegeben, dass $\ a \|| b \wedge b \|| c$, beide (a und c) müssen also zu b parallel sein.
da der schnittpunkt auf beiden liegt und das parallelaxiom gilt, gibt es durch dieses schnittpunkt nur eine (nicht zwei(a und c)) parallele geraden. a und c müssen also identisch sein. --Studentin 09:35, 11. Mai 2012 (CEST)

b) Welche Eigenschaft der Relation $\||$ auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?
die relation $\||$ ist transitiv.--Studentin 09:39, 11. Mai 2012 (CEST)