Lösung von Aufgabe 5.4 P (SoSe 13): Unterschied zwischen den Versionen
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Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation <math>\ \Theta</math> (<math>\ \Theta</math> ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge <math>\ E \setminus g</math> (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige <math>\ A,B \in E \setminus g</math> gilt: <math>\ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace</math>.<br /> | Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation <math>\ \Theta</math> (<math>\ \Theta</math> ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge <math>\ E \setminus g</math> (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige <math>\ A,B \in E \setminus g</math> gilt: <math>\ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace</math>.<br /> | ||
| − | a) Beschreiben Sie die Relation <math>\ \Theta</math> verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.<br /> | + | '''a) Beschreiben Sie die Relation <math>\ \Theta</math> verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.'''<br /> |
| − | Zwei Punkte stehen genau dann in R, wenn die Strecke AB die Gerade g nicht schneidet.--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 16:11, 24. Mai 2013 (CEST) | + | Zwei Punkte stehen genau dann in R, wenn die Strecke AB die Gerade g nicht schneidet.--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 16:11, 24. Mai 2013 |
| − | + | *Wie könnte man das auch noch veranschaulicht verstehen und beschreiben?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:49, 26. Mai 2013 (CEST) | |
| − | b) Begründen Sie anschaulich, dass <math>\ \Theta</math> eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation <math>\ \Theta</math> bezogen.<br /> | + | ''' |
| − | Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.<br /> | + | b) Begründen Sie anschaulich, dass <math>\ \Theta</math> eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation <math>\ \Theta</math> bezogen.'''<br /> |
| + | '''Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen'''.<br /> | ||
* reflexiv, weil für alle A Element der Ebene E ohne der Gerade g gilt: A steht in Relation zu A | * reflexiv, weil für alle A Element der Ebene E ohne der Gerade g gilt: A steht in Relation zu A | ||
* symmetrisch, weil für alle ( A, B, C) Element Relation gilt: Strecke AB vereinigt mit der Geraden g = leere Menge --> Strecke BA vereinigt mit g = leere Menge , da Strecke AB = Strecke BA. | * symmetrisch, weil für alle ( A, B, C) Element Relation gilt: Strecke AB vereinigt mit der Geraden g = leere Menge --> Strecke BA vereinigt mit g = leere Menge , da Strecke AB = Strecke BA. | ||
* transitiv, weil für alle ( A,B,C) Element der Ebene E ohne g gilt: Strecke AB vereinigt mit g = leere Menge und Strecke BC vereinigt mit g = leere Menge --> Strecke AC vereinigt mit g= l. Menge.--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 16:09, 24. Mai 2013 (CEST)Blumenkind 24. Mai 16:09 | * transitiv, weil für alle ( A,B,C) Element der Ebene E ohne g gilt: Strecke AB vereinigt mit g = leere Menge und Strecke BC vereinigt mit g = leere Menge --> Strecke AC vereinigt mit g= l. Menge.--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 16:09, 24. Mai 2013 (CEST)Blumenkind 24. Mai 16:09 | ||
| − | + | **Blumenkind hat die Eigenschaften jetzt allgemein erklärt. Aber warum gelten sie gerade für diese Relation? Man beziehe sich dabei auf die geometrische Beschreibung aus Aufgabe a).--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:49, 26. Mai 2013 (CEST) | |
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Version vom 26. Mai 2013, 16:49 Uhr
Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation 
( ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge 
(also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige 
gilt: 
.
a) Beschreiben Sie die Relation verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.
Zwei Punkte stehen genau dann in R, wenn die Strecke AB die Gerade g nicht schneidet.--Blumenkind 16:11, 24. Mai 2013
- Wie könnte man das auch noch veranschaulicht verstehen und beschreiben?--Tutorin Anne 16:49, 26. Mai 2013 (CEST)
b) Begründen Sie anschaulich, dass eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation bezogen.
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.
- reflexiv, weil für alle A Element der Ebene E ohne der Gerade g gilt: A steht in Relation zu A
- symmetrisch, weil für alle ( A, B, C) Element Relation gilt: Strecke AB vereinigt mit der Geraden g = leere Menge --> Strecke BA vereinigt mit g = leere Menge , da Strecke AB = Strecke BA.
- transitiv, weil für alle ( A,B,C) Element der Ebene E ohne g gilt: Strecke AB vereinigt mit g = leere Menge und Strecke BC vereinigt mit g = leere Menge --> Strecke AC vereinigt mit g= l. Menge.--Blumenkind 16:09, 24. Mai 2013 (CEST)Blumenkind 24. Mai 16:09
- Blumenkind hat die Eigenschaften jetzt allgemein erklärt. Aber warum gelten sie gerade für diese Relation? Man beziehe sich dabei auf die geometrische Beschreibung aus Aufgabe a).--Tutorin Anne 16:49, 26. Mai 2013 (CEST)
