Lösung von Aufgabe 6.10: Unterschied zwischen den Versionen
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<br />3. Beweisen Sie die beiden Implikationen. | <br />3. Beweisen Sie die beiden Implikationen. | ||
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*Vorraussetzung: Die Strecke <math>\ |M_1M_2|</math> ist so lang wie die Summe der beiden Radien <math>\ |r_1|</math> und <math>|r_2|</math>. | *Vorraussetzung: Die Strecke <math>\ |M_1M_2|</math> ist so lang wie die Summe der beiden Radien <math>\ |r_1|</math> und <math>|r_2|</math>. | ||
*Behauptung: Die beiden Kreisen haben genau einen gemeinsamen Punkt S. | *Behauptung: Die beiden Kreisen haben genau einen gemeinsamen Punkt S. | ||
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*Gegen-Behauptung (2): Es gibt MEHR ALS EINEN gemeinsamen Punkt. | *Gegen-Behauptung (2): Es gibt MEHR ALS EINEN gemeinsamen Punkt. | ||
*Indirekter Beweis: | *Indirekter Beweis: | ||
| − | ** (1) Die Strecke <math>\ |M_1M_2|</math> setzt sich zusammen aus den Strecken | + | ** (1) Die Strecke <math>\ |M_1M_2|</math> setzt sich zusammen aus den Strecken <math>\ |M_1C|</math> und <math>\ |CM_2|</math>, wobei <math>\ C</math> zwischen <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> liegt. (Definition II.1: (Zwischenrelation): Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt (...) ). |
| + | ** Dieser Punkt C liegt "außerhalb" beider Kreise (Gegen-Behauptung (1) ) | ||
| + | ** Dadurch ist die Strecke <math>\ |M_1C|</math> größer als der Radius von <math>\ k_1</math>, und die Strecke <math>\ |M_2C|</math> größer als der Radius von <math>\ k_2</math> (<math>\ |M_1C| > |r_1| \land |M_2C| > |r_2|</math>) | ||
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Version vom 4. Juni 2010, 05:34 Uhr
Der folgende Satz bezieht sich auf die ebene Geometrie.
Satz:
- Es seien
und 
zwei Kreise mit den Mittelpunkten 
bzw. 
und den Radien 
bzw. 
.
- Es seien
Die Kreise und haben dann und nur dann einen und nur einen Punkt 
gemeinsam, wenn 
gilt.
- Formulieren Sie den Satz ohne die Verwendung der Phrasen dann und nur dann sowie einen und nur einen.
- Sie haben sicherlich erkannt, dass es sich bei dem Satz um eine Äquivalenz handelt. Formulieren Sie die beiden Implikationen, die diese Äquivalenz beinhaltet.
- Beweisen Sie die beiden Implikationen.
1. Reicht es, wenn man mit "genau" arbeitet?
Die Kreise und haben genau dann genau einen Punkt gemeinsam, wenn gilt.
2. I) Wenn gilt, dann haben die beiden Kreise und genau einen Punkt gemeinsam, den Berührpunkt S.
II) Wenn zwei Kreise und genau einen Punkt gemeinsam haben, so gilt
3. Beweisen Sie die beiden Implikationen.
I)
- Skizze
- Vorraussetzung: Die Strecke
ist so lang wie die Summe der beiden Radien 
und 
.
- Behauptung: Die beiden Kreisen haben genau einen gemeinsamen Punkt S.
- Gegen-Behauptung (1): Es gibt KEINEN gemeinsamen Punkt
- Gegen-Behauptung (2): Es gibt MEHR ALS EINEN gemeinsamen Punkt.
- Indirekter Beweis:
- (1) Die Strecke setzt sich zusammen aus den Strecken
und 
, wobei 
zwischen und liegt. (Definition II.1: (Zwischenrelation): Ein Punkt 
liegt zwischen zwei Punkten 
und , wenn 
gilt (...) ).
- Dieser Punkt C liegt "außerhalb" beider Kreise (Gegen-Behauptung (1) )
- Dadurch ist die Strecke größer als der Radius von , und die Strecke
größer als der Radius von (
)
- (2)
- (1) Die Strecke
II)
--Heinzvaneugen
