Lösung von Aufgabe 6.10: Unterschied zwischen den Versionen
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<br />2. I) Wenn <math>\ |M_1M_2|=|r_1|+|r_2|</math> gilt, dann haben die beiden Kreise <math>\ k_1</math> und <math>\ k_2</math> genau einen Punkt gemeinsam, den Berührpunkt S. | <br />2. I) Wenn <math>\ |M_1M_2|=|r_1|+|r_2|</math> gilt, dann haben die beiden Kreise <math>\ k_1</math> und <math>\ k_2</math> genau einen Punkt gemeinsam, den Berührpunkt S. | ||
<br />II) Wenn zwei Kreise <math>\ k_1</math> und <math>\ k_2</math> genau einen Punkt gemeinsam haben, so gilt <math>\ |M_1M_2|=|r_1|+|r_2|</math> | <br />II) Wenn zwei Kreise <math>\ k_1</math> und <math>\ k_2</math> genau einen Punkt gemeinsam haben, so gilt <math>\ |M_1M_2|=|r_1|+|r_2|</math> | ||
− | <br />3. Beweisen Sie die beiden Implikationen | + | <br />3. Beweisen Sie die beiden Implikationen Teil 1 |
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*[[Strecken#Die_Dreiecksungleichung|Skizze]] | *[[Strecken#Die_Dreiecksungleichung|Skizze]] | ||
*Vorraussetzung: Die Strecke <math>\ |M_1M_2|</math> ist so lang wie die Summe der beiden Radien <math>\ |r_1|</math> und <math>|r_2|</math>. | *Vorraussetzung: Die Strecke <math>\ |M_1M_2|</math> ist so lang wie die Summe der beiden Radien <math>\ |r_1|</math> und <math>|r_2|</math>. | ||
− | *Behauptung: Die beiden Kreisen haben genau einen gemeinsamen Punkt | + | *Behauptung: Die beiden Kreisen haben genau einen gemeinsamen Punkt. |
*Gegen-Behauptung (1): Es gibt KEINEN gemeinsamen Punkt | *Gegen-Behauptung (1): Es gibt KEINEN gemeinsamen Punkt | ||
*Gegen-Behauptung (2): Es gibt MEHR ALS EINEN gemeinsamen Punkt. | *Gegen-Behauptung (2): Es gibt MEHR ALS EINEN gemeinsamen Punkt. | ||
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** Dieser Punkt C liegt "außerhalb" beider Kreise (Gegen-Behauptung (1) ) | ** Dieser Punkt C liegt "außerhalb" beider Kreise (Gegen-Behauptung (1) ) | ||
** Dadurch ist die Strecke <math>\ |M_1C|</math> größer als der Radius von <math>\ k_1</math>, und die Strecke <math>\ |M_2C|</math> größer als der Radius von <math>\ k_2</math> (<math>\ |M_1C| > |r_1| \land |M_2C| > |r_2|</math>) | ** Dadurch ist die Strecke <math>\ |M_1C|</math> größer als der Radius von <math>\ k_1</math>, und die Strecke <math>\ |M_2C|</math> größer als der Radius von <math>\ k_2</math> (<math>\ |M_1C| > |r_1| \land |M_2C| > |r_2|</math>) | ||
− | ** (2) | + | ** Daraus resultiert: <math>\ |M_1C| + |M_2C| > |r_1| + |r_2|</math> (Widerspruch zu Vorraussetzung und Schritt 1, da <math>\ |M_1C| + |M_2C| = |M_1M_2| = |r_1| + |r_2|</math>) |
− | <br />II) | + | ** (2) Analog, nur bei der Strecken-Ungleichung muss dann der Radius jeweils größer als die Strecke <math>\ |M_1C| </math> bzw.<math> |M_2C| </math> sein. (<math>\ |M_1C| < |r_1| \land |M_2C| < |r_2|</math>) |
+ | * Dadurch haben wir beweiesen, dass Gegen-Behauptung (1) und (2) zu Widersprüchen führen und nur die Behauptung "Die beiden Kreisen haben genau einen gemeinsamen Punkt" gültig ist. Oder...? | ||
+ | <br />3. Beweisen Sie die beiden Implikationen Teil 2 | ||
+ | <br />II).... | ||
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Version vom 4. Juni 2010, 05:45 Uhr
Der folgende Satz bezieht sich auf die ebene Geometrie.
Satz:
- Es seien und zwei Kreise mit den Mittelpunkten bzw. und den Radien bzw. .
Die Kreise und haben dann und nur dann einen und nur einen Punkt gemeinsam, wenn gilt.
- Formulieren Sie den Satz ohne die Verwendung der Phrasen dann und nur dann sowie einen und nur einen.
- Sie haben sicherlich erkannt, dass es sich bei dem Satz um eine Äquivalenz handelt. Formulieren Sie die beiden Implikationen, die diese Äquivalenz beinhaltet.
- Beweisen Sie die beiden Implikationen.
1. Reicht es, wenn man mit "genau" arbeitet?
Die Kreise und haben genau dann genau einen Punkt gemeinsam, wenn gilt.
2. I) Wenn gilt, dann haben die beiden Kreise und genau einen Punkt gemeinsam, den Berührpunkt S.
II) Wenn zwei Kreise und genau einen Punkt gemeinsam haben, so gilt
3. Beweisen Sie die beiden Implikationen Teil 1
I)
- Skizze
- Vorraussetzung: Die Strecke ist so lang wie die Summe der beiden Radien und .
- Behauptung: Die beiden Kreisen haben genau einen gemeinsamen Punkt.
- Gegen-Behauptung (1): Es gibt KEINEN gemeinsamen Punkt
- Gegen-Behauptung (2): Es gibt MEHR ALS EINEN gemeinsamen Punkt.
- Indirekter Beweis:
- (1) Die Strecke setzt sich zusammen aus den Strecken und , wobei zwischen und liegt. (Definition II.1: (Zwischenrelation): Ein Punkt liegt zwischen zwei Punkten und , wenn gilt (...) ).
- Dieser Punkt C liegt "außerhalb" beider Kreise (Gegen-Behauptung (1) )
- Dadurch ist die Strecke größer als der Radius von , und die Strecke größer als der Radius von ()
- Daraus resultiert: (Widerspruch zu Vorraussetzung und Schritt 1, da )
- (2) Analog, nur bei der Strecken-Ungleichung muss dann der Radius jeweils größer als die Strecke bzw. sein. ()
- Dadurch haben wir beweiesen, dass Gegen-Behauptung (1) und (2) zu Widersprüchen führen und nur die Behauptung "Die beiden Kreisen haben genau einen gemeinsamen Punkt" gültig ist. Oder...?
3. Beweisen Sie die beiden Implikationen Teil 2
II)....
--Heinzvaneugen