Lösung von Aufgabe 6.2: Unterschied zwischen den Versionen

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Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine beliebige Ebene und <math>\ A, B, C, D</math> die vier Punkte entsprechend Axiom I.7. Klassifizieren Sie alle Fälle die bezüglich der Inzidenz der Punkte <math>\ A, B, C, D</math> mit <math>\ \Epsilon</math> auftreten können.
 
Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine beliebige Ebene und <math>\ A, B, C, D</math> die vier Punkte entsprechend Axiom I.7. Klassifizieren Sie alle Fälle die bezüglich der Inzidenz der Punkte <math>\ A, B, C, D</math> mit <math>\ \Epsilon</math> auftreten können.
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Vorraussetzung: Die Punkte sind nicht kollinear. Wenn mehr als zwei Punkte kollinear sind (zB. <math>\ A, B, C</math><math>\in</math> Gerade g), dann sind diese Punkte und der verbleibende nichtkollineare Punkt (im Bsp. D) Elemente der Ebene <math>\ \Epsilon</math>.
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Begründung:
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Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)
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        Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört.
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Axiom I/4
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        Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. (...)
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Der Fall, dass alle vier Punkte kollinear sind (also <math>\ A, B, C, D</math> <math>\in</math> Gerade g) ist dann trivial, da durch Definition I/4 abgedeckt.
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| DREI Punkte liegen in <math>\ \Epsilon</math> (sind Elemente von...)|| <math>\ A, B, C</math> <math>\in \Epsilon</math>  || mögliche Tripel: <math>\Epsilon</math><sub>1</sub>(A,B,C) <math>\Epsilon</math><sub>2</sub>(A,B,D) <math>\Epsilon</math><sub>3</sub>(A,C,D) <math>\Epsilon</math><sub>4</sub> (B,C,D) || <math>\Epsilon</math><sub>1</sub>(D) <math>\Epsilon</math><sub>2</sub>(C) <math>\Epsilon</math><sub>3</sub>(B) <math>\Epsilon</math><sub>4</sub> (A)
 
| DREI Punkte liegen in <math>\ \Epsilon</math> (sind Elemente von...)|| <math>\ A, B, C</math> <math>\in \Epsilon</math>  || mögliche Tripel: <math>\Epsilon</math><sub>1</sub>(A,B,C) <math>\Epsilon</math><sub>2</sub>(A,B,D) <math>\Epsilon</math><sub>3</sub>(A,C,D) <math>\Epsilon</math><sub>4</sub> (B,C,D) || <math>\Epsilon</math><sub>1</sub>(D) <math>\Epsilon</math><sub>2</sub>(C) <math>\Epsilon</math><sub>3</sub>(B) <math>\Epsilon</math><sub>4</sub> (A)
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| VIER Punkte sind komplanar||<math>\ A, B, C, D</math> <math>\in \Epsilon</math> ||alle Punkte liegen "auf" / "in" Ebene <math>\Epsilon</math> ||keine Punkt nKomp
 
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Mehr Fälle gibt es nach der Vorraussetzung nicht, oder?

Version vom 4. Juni 2010, 01:48 Uhr

Das Axiom I.7 sagt aus:

Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

Es sei \ \Epsilon eine beliebige Ebene und \ A, B, C, D die vier Punkte entsprechend Axiom I.7. Klassifizieren Sie alle Fälle die bezüglich der Inzidenz der Punkte \ A, B, C, D mit \ \Epsilon auftreten können.

Vorraussetzung: Die Punkte sind nicht kollinear. Wenn mehr als zwei Punkte kollinear sind (zB. \ A, B, C\in Gerade g), dann sind diese Punkte und der verbleibende nichtkollineare Punkt (im Bsp. D) Elemente der Ebene \ \Epsilon. Begründung: Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene) 

       Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört.

Axiom I/4 

       Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. (...)

Der Fall, dass alle vier Punkte kollinear sind (also \ A, B, C, D \in Gerade g) ist dann trivial, da durch Definition I/4 abgedeckt.


Fall Bsp/Ausprägung Zusatz nKomp
DREI Punkte liegen in \ \Epsilon (sind Elemente von...) \ A, B, C \in \Epsilon mögliche Tripel: \Epsilon1(A,B,C) \Epsilon2(A,B,D) \Epsilon3(A,C,D) \Epsilon4 (B,C,D) \Epsilon1(D) \Epsilon2(C) \Epsilon3(B) \Epsilon4 (A)
VIER Punkte sind komplanar \ A, B, C, D \in \Epsilon alle Punkte liegen "auf" / "in" Ebene \Epsilon keine Punkt nKomp

Mehr Fälle gibt es nach der Vorraussetzung nicht, oder?

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