Lösung von Aufgabe 6.2: Unterschied zwischen den Versionen

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Vorraussetzung: Die Punkte sind nicht kollinear. <br />Wenn mehr als zwei Punkte kollinear sind (zB. <math>\ A, B, C</math><math>\in</math> Gerade g), dann sind diese Punkte und der verbleibende nichtkollineare Punkt (im Bsp. <math>\ D</math>) Elemente der Ebene <math>\ \Epsilon</math>.
 
Vorraussetzung: Die Punkte sind nicht kollinear. <br />Wenn mehr als zwei Punkte kollinear sind (zB. <math>\ A, B, C</math><math>\in</math> Gerade g), dann sind diese Punkte und der verbleibende nichtkollineare Punkt (im Bsp. <math>\ D</math>) Elemente der Ebene <math>\ \Epsilon</math>.
 
<br />Begründung:
 
<br />Begründung:
−
<br />Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)
 
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        Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört.
 
 
<br />Axiom I/4
 
<br />Axiom I/4
 
         Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. (...)
 
         Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. (...)
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<br />Axiom I/5
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        Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.
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<br />Der Fall, dass alle vier Punkte kollinear sind (also <math>\ A, B, C, D</math> <math>\in</math> Gerade g) ist dann trivial, da durch Definition I/4 abgedeckt.
 
<br />Der Fall, dass alle vier Punkte kollinear sind (also <math>\ A, B, C, D</math> <math>\in</math> Gerade g) ist dann trivial, da durch Definition I/4 abgedeckt.
  

Version vom 4. Juni 2010, 01:58 Uhr

Das Axiom I.7 sagt aus:

Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

Es sei \ \Epsilon eine beliebige Ebene und \ A, B, C, D die vier Punkte entsprechend Axiom I.7. Klassifizieren Sie alle Fälle die bezüglich der Inzidenz der Punkte \ A, B, C, D mit \ \Epsilon auftreten können.


Vorraussetzung: Die Punkte sind nicht kollinear.
Wenn mehr als zwei Punkte kollinear sind (zB. \ A, B, C\in Gerade g), dann sind diese Punkte und der verbleibende nichtkollineare Punkt (im Bsp. \ D) Elemente der Ebene \ \Epsilon.
Begründung:
Axiom I/4 

       Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. (...)


Axiom I/5 

       Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.


Der Fall, dass alle vier Punkte kollinear sind (also \ A, B, C, D \in Gerade g) ist dann trivial, da durch Definition I/4 abgedeckt.


Fall Bsp/Ausprägung Zusatz nKomp
DREI Punkte liegen in \ \Epsilon (sind Elemente von...) \ A, B, C \in \Epsilon mögliche Tripel: \Epsilon1(A,B,C) \Epsilon2(A,B,D) \Epsilon3(A,C,D) \Epsilon4 (B,C,D) \Epsilon1(D) \Epsilon2(C) \Epsilon3(B) \Epsilon4 (A)
VIER Punkte sind komplanar \ A, B, C, D \in \Epsilon alle Punkte liegen "auf" / "in" Ebene \Epsilon keine Punkt nKomp

Mehr Fälle gibt es nach der Vorraussetzung nicht, oder? --Heinzvaneugen

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