Lösung von Aufgabe 6.2

Das Axiom I.7 sagt aus:

Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

Es sei $\ \Epsilon$ eine beliebige Ebene und $\ A, B, C, D$ die vier Punkte entsprechend Axiom I.7. Klassifizieren Sie alle Fälle die bezüglich der Inzidenz der Punkte $\ A, B, C, D$ mit $\ \Epsilon$ auftreten können.

Vorraussetzung: Die Punkte sind nicht kollinear.
Wenn mehr als zwei Punkte kollinear sind (zB. $\ A, B, C$$\in$ Gerade g), dann sind diese Punkte und der verbleibende nichtkollineare Punkt (im Bsp. $\ D$) Elemente der Ebene $\ \Epsilon$.
Begründung:
Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)

       Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört.

Axiom I/4

       Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. (...)

Der Fall, dass alle vier Punkte kollinear sind (also $\ A, B, C, D$ $\in$ Gerade g) ist dann trivial, da durch Definition I/4 abgedeckt.

Fall	Bsp/Ausprägung	Zusatz	nKomp
DREI Punkte liegen in $\ \Epsilon$ (sind Elemente von...)	$\ A, B, C$ $\in \Epsilon$	mögliche Tripel: $\Epsilon$1(A,B,C) $\Epsilon$2(A,B,D) $\Epsilon$3(A,C,D) $\Epsilon$4 (B,C,D)	$\Epsilon$1(D) $\Epsilon$2(C) $\Epsilon$3(B) $\Epsilon$4 (A)
VIER Punkte sind komplanar	$\ A, B, C, D$ $\in \Epsilon$	alle Punkte liegen "auf" / "in" Ebene $\Epsilon$	keine Punkt nKomp

Mehr Fälle gibt es nach der Vorraussetzung nicht, oder? --Heinzvaneugen