Lösung von Aufgabe 6.5 (SoSe 11)

Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation $\ \Theta$ ($\ \Theta$ ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge $\ E \setminus g$ (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige $\ A,B \in E \setminus g$ gilt: $\ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace$.
a) Beschreiben Sie die Relation $\ \Theta$ verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.
b) Begründen Sie anschaulich, dass $\ \Theta$ eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation $\ \Theta$ bezogen.
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.

a) Die Relation $\ \Theta$ besagt, dass dann die Strecke AB parallel zur Gerade g ist. Denn nur dann hat die Strecke AB mit g eine leere Schnittmenge. Das heißt, der Abstand A zu g ist gleich groß wie der Abstand von B zu g.

b) $\ \Theta$ ist eine Äquivalenzrelation denn:

Reflexivität: Ein Punkt A hat zur gerade g den gleichen Abstand wie ein Punkt A Symmetrie: Hat A und B zu g den gleichen Abstand, dann auch B und A zu g. Transitivität: Wenn A und B zu g den gleichen Abstand haben und B und C zu g den gleichen Abstand haben, dann auch A zu C. Denn A,B,C müssen alle auf einer Gerade liegen, die parallel zu g liegt.

--Madita 15:24, 19. Mai 2011 (CEST)