Lösung von Aufgabe 6.5 (SoSe 11)

Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation $\ \Theta$ ($\ \Theta$ ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge $\ E \setminus g$ (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige $\ A,B \in E \setminus g$ gilt: $\ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace$.
a) Beschreiben Sie die Relation $\ \Theta$ verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.
b) Begründen Sie anschaulich, dass $\ \Theta$ eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation $\ \Theta$ bezogen.
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.

a) Die Relation $\ \Theta$ besagt, dass dann die Strecke AB parallel zur Gerade g ist. Denn nur dann hat die Strecke AB mit g eine leere Schnittmenge. Das heißt, der Abstand A zu g ist gleich groß wie der Abstand von B zu g.

b) $\ \Theta$ ist eine Äquivalenzrelation denn:

Reflexivität: Ein Punkt A hat zur gerade g den gleichen Abstand wie ein Punkt A Symmetrie: Hat A und B zu g den gleichen Abstand, dann auch B und A zu g. Transitivität: Wenn A und B zu g den gleichen Abstand haben und B und C zu g den gleichen Abstand haben, dann auch A zu C. Denn A,B,C müssen alle auf einer Gerade liegen, die parallel zu g liegt.

--Madita 15:24, 19. Mai 2011 (CEST) Aus der Übung vom 20.05.11:
Stimmt nicht ganz:

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--*m.g.* 16:32, 20. Mai 2011 (CEST)

Es handelt sich hierbei um die Relation "befinden sich in ein und derselben Halbebene". 1) reflexiv, da ein Punkt sich nur in einer Halbebene befinden kann. 2) symmetrisch: wenn Strecke AB sich in einer Halbebene befinden dann auch Strecke BA (aufgrund der Identität) 3) transitiv: Wenn Strecke AB und BC sich in der selben Halbebene befinden, dann auch die Strecke AC (Beweisbar mit Axiom von Pasch) Mathegott 22:03, 15. Jul. 2011 (CEST)