Lösung von Aufgabe 7.10

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Beweisen Sie: Jede Strecke hat höchstens einen Mittelpunkt.


A--M--B

Voraussetzung: koll(A, M, B), zw (A, M, B), \overline{AM} = \overline{MB}

(gemeint ist: \vert AM \vert = \vert MB \vert) --Sternchen 13:25, 10. Jun. 2010 (UTC)

zu zeigen: Es gibt nur einen Punkt M, auf den die o.g. Sachverhalte zutreffen.

M = Mittelpunkt, da Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke)

\overline{AM} ist eindeutig für \overline{AB} definiert Axiom II.1: (Abstandsaxiom)

--Nicola 13:52, 6. Jun. 2010 (UTC)


noch ein Versuch:
Satz III.1: Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt.
1. Existenzbeweis bereits in der Vorlesung geführt.
2. Eindeutigkeitsbeweis: Jede Strecke hat höchstens einen Mittelpunkt.
Annahme: Es existieren zwei verschiedene Mittelpunkte  M_1 und  M_2 , die Element von  \overline { AB } sind.

Beweis
Nr. Beweisschritt Begründung
(I) \exist M_1 \in \overline { AB }: \left| AM_1 \right| = \left| M_1B \right|
\exist M_2 \in \overline { AB }: \left| AM_2 \right| = \left| M_2B \right|
Annahme
(II)  \operatorname{Zw} \left( A, M_1, B \right)
\operatorname{Zw} \left( A, M_2, B \right)
(I), Existenzbeweis, Def. (zw)
(III)  \left| AM_1 \right| + \left| M_1B \right| = \left| AB \right|
 \left| AM_2 \right| + \left| M_2B \right| = \left| AB \right|
Def (zw), (II)
(IV)  2\left| AM_1 \right| = \left| AB \right|
 2\left| AM_2 \right| = \left| AB \right|
(I), (III), Rechnen in  \mathbb{R}
(V)  \left| AM_1 \right|= {\left| AB \right| \over 2}
 \left| AM_2 \right|= {\left| AB \right| \over 2}
Rechnen in  \mathbb{R}  , (IV)
(VI)  \left| AM_1 \right|= \left| AM_2 \right| (V), Rechnen in  \mathbb{R}
(VII)  M_1 \equiv M_2
Widerspruch zur Annahme M_1 \not\equiv  M_2
Es existiert höchstens ein Mittelpunkt der Strecke  	\overline { AB } .
(VI)

--Maude001 13:16, 20. Jun. 2010 (UTC)