Lösung von Aufgabe 8.1: Unterschied zwischen den Versionen

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Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene, die durch die Gerade <math>\ g</math> in die beiden Halbebenen <math> gQ^+</math> und <math>gQ^-</math> eingeteilt wird. Ferner sei <math>\ R</math> ein Punkt der Halbebene <math>\ gQ^-</math>, der nicht auf der Trägergeraden <math>\ g</math> liegen möge.
 
Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene, die durch die Gerade <math>\ g</math> in die beiden Halbebenen <math> gQ^+</math> und <math>gQ^-</math> eingeteilt wird. Ferner sei <math>\ R</math> ein Punkt der Halbebene <math>\ gQ^-</math>, der nicht auf der Trägergeraden <math>\ g</math> liegen möge.
 
Beweisen Sie: <math>\ gR^+ \equiv  gQ^-</math> und <math>\ gR^- \equiv gQ^+ </math>
 
Beweisen Sie: <math>\ gR^+ \equiv  gQ^-</math> und <math>\ gR^- \equiv gQ^+ </math>
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== Lösung ==
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'''Voraussetzung:''' <math>\ {gQ}^{+}</math> und <math>\ {gQ}^{-}</math> <math>R \in {gQ}^{-} </math> mit <math>R \not \in g </math>
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<br />'''Behauptung:''' <math>{gR}^{+} \equiv {gQ}^{-}</math> und <math>{gR}^{-} \equiv {gQ}^{+}</math>, d. h. <br\>
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1) <math>\forall P\in {gQ}^{-} \Rightarrow P\in {gR}^{+}</math> <br\>
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2) <math>\forall P\in {gQ}^{+} \Rightarrow P\in {gR}^{-}</math> <br\>
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zu 1)<br\>
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|+ Beweis
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! Nr.
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! Beweisschritt
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! Begründung
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! style="background: #FFDDDD;"|(I)
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| <math>\forall P\in {gQ}^{-} \Rightarrow \overline {PQ} \cap g \neq \lbrace \rbrace </math>
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| nach Definition Halbebene
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| nach Voraussetzung und Definition Halbebene
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| <math>\overline {RP} \cap g = \lbrace \rbrace </math>
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| Axiom v. Pasch
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| <math>\ P\in {gR}^{+}</math>
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| (III) und Definition Halbebene
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|}
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zu 2) analog zu 1)

Version vom 14. Juli 2010, 15:09 Uhr

Es sei \ \Epsilon eine Ebene, die durch die Gerade \ g in die beiden Halbebenen gQ^+ und gQ^- eingeteilt wird. Ferner sei \ R ein Punkt der Halbebene \ gQ^-, der nicht auf der Trägergeraden \ g liegen möge. Beweisen Sie: \ gR^+ \equiv gQ^- und \ gR^- \equiv gQ^+

Lösung

Voraussetzung: \ {gQ}^{+} und \ {gQ}^{-} R \in {gQ}^{-} mit R \not \in g
Behauptung: {gR}^{+} \equiv {gQ}^{-} und {gR}^{-} \equiv {gQ}^{+}, d. h.
1) \forall P\in {gQ}^{-} \Rightarrow P\in {gR}^{+}
2) \forall P\in {gQ}^{+} \Rightarrow P\in {gR}^{-}
zu 1)

Beweis
Nr. Beweisschritt Begründung
(I) \forall P\in {gQ}^{-} \Rightarrow \overline {PQ} \cap g \neq \lbrace \rbrace nach Definition Halbebene
(II) \overline {RQ} \cap g \neq \lbrace \rbrace nach Voraussetzung und Definition Halbebene
(III) \overline {RP} \cap g = \lbrace \rbrace Axiom v. Pasch
(IV) \ P\in {gR}^{+} (III) und Definition Halbebene

zu 2) analog zu 1)

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