Lösung von Zusatzaufgabe 11.2P (SoSe 13)

Beweisen Sie Satz IX.9:
Gegeben seien zwei zueinander parallele Spiegelgeraden a und b. Wir betrachten die Verkettung $S_{a}\circ S_{b}$. Jeder Punkt P hat dabei zu seinem Bildpunkt $P''=S_{a}\circ S_{b}(P)$ einen Abstand der doppelt so groß ist wie der Abstand der beiden Spiegelgeraden.

Hinweis: Hier genügt ein exemplarischer Beweis für eine mögliche Lage von P. Nehmen wir doch mal an, P und seine Spiegelpunkte liegen so:

--Tutorin Anne 17:30, 12. Jul. 2013 (CEST)

Voraussetzung	...
Behauptung	....

Nr.	Beweisschritt	Begründung
1	...)	...
2	...	...
3	...	...
4	...	...
...	...	...
...	...	...

Sorry, habe währenddessen eine eigene Version erarbeitet.
Ist eine solche ausführliche Voraussetzung erlaubt?
Der Beweis ist sehr lang geworden.

Voraussetzung:
Sa∘Sb(P) = P(zweistrich) mit a || b
mit koll(P,P',P(zweistrich)
mit P,P',P(zweistrich) ∈ g
mit g ⊥ a ∧ g ⊥ b
mit g ∩ a = {M} ∧ g ∩ b = {N} --Nolessonlearned 18:17, 12. Jul. 2013 (CEST)

Behauptung:
|P͞P(zweistrich)| = 2|ab| ≌ 2(|MP'| + |P'N|) --Nolessonlearned 18:17, 12. Jul. 2013 (CEST)

	Beweisschritt	Begründung
1)	koll(P,P',P(zweistrich)	Eigenschaft GS; Voraussetzung
2)	P' = Sa(P)	Def. GS; Voraussetzung
3)	P(zweistrich) = Sb(P')	Def. GS; Voraussetzung
4)	P͞M͞| ≌ |M͞P͞'|	(1); (2); Voraussetzung; Streckentreue d. GS bzw. Abstandserhaltung
5)	P͞'N͞| ≌ |N͞P͞|(zweistrich)	(1); (2); (3); Voraussetzung; Streckentreue d. GS bzw. Abstandserhaltung
6)	M͞P͞'| + |P͞'N͞| = |ab|	(4); (5); Streckenaddition bzw. Abstandsaddition; Rechnen in ℝ
7)	P͞M͞| ≌ |N͞P͞|(zweistrich) ≌ |M͞P͞'| + |P͞'N͞|	(4); (5); (6); Streckenaddition bzw. Abstandsaddition; Rechnen in ℝ; Eigenschaft der Translation
8)	M͞P͞'| + |P͞'N͞|) ≌ |P͞P͞|(zweistrich)	(6); (7); Streckenaddition bzw. Abstandsaddition; Rechnen in ℝ; Eigenschaft der Translation
9)	P͞P͞|(zweistrich) ≌ 2|ab|	(6); (7); (8) q.e.d

--Nolessonlearned 18:17, 12. Jul. 2013 (CEST)