Lösung von Zusatzaufgabe 5.1P (WS 12 13): Unterschied zwischen den Versionen
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a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math> . <br /> | a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math> . <br /> | ||
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br /> | b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br /> | ||
| − | + | <br /> | |
| − | + | a) Voraussetzung: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c</math><br /> | |
| + | Behauptung: <math>a \|| c</math><br /> | ||
| + | Annahme: <math>\neg (a||b)</math> <br /> | ||
| + | 1.) <math>\ a \cap c </math> = {S} ______________ Annahme<br /> | ||
| + | 2.) <math>S \in a ; S \in c</math>______________ 1.)<br /> | ||
| + | 3.) <math>a||b => \neg (c||b)</math>______________ 2.); Parallelenaxiom<br /> | ||
| + | Widerspruch zur Voraussetzung<br /> | ||
| + | b) Beweis der Transitivität der ||-Relation--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 22:02, 17. Jan. 2013 (CET) | ||
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Version vom 17. Januar 2013, 23:02 Uhr
Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:
Es seien a, b und c drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: 
.
b) Welche Eigenschaft der Relation 
auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?
a) Voraussetzung: 
Behauptung: 
Annahme: 
1.) 
= {S} ______________ Annahme
2.) 
______________ 1.)
3.) 
______________ 2.); Parallelenaxiom
Widerspruch zur Voraussetzung
b) Beweis der Transitivität der ||-Relation--Unicycle 22:02, 17. Jan. 2013 (CET)
