Lösung von Zusatzaufgabe 5.1P (WS 12 13)

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Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:
Es seien a, b und c drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: \ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c .
b) Welche Eigenschaft der Relation \|| auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?

a) Voraussetzung: \ a \|| b \wedge b \|| c
Behauptung: a \|| c
Annahme: \neg (a||c)
1.) \ a \cap c = {S} ______________ Annahme
2.) S \in  a ; S \in  c______________ 1.)
3.) a||b \wedge \neg (c||b)______________ 2.); Parallelenaxiom
Widerspruch zur Voraussetzung

  • Ich kann den Beweis bis auf Schritt 3. gut nachvollziehen. Wie genau kommst du darauf, dass c nicht parallel zu b sein kann?--Tutorin Anne 18:50, 18. Jan. 2013 (CET)

Wenn a durch S parallel zu b ist, dann kann, laut Parallelenaxiom, c durch S nicht auch parallel zu b sein.--Unicycle 15:47, 19. Jan. 2013 (CET) > genau! Sehr gut!--Tutorin Anne 12:21, 20. Jan. 2013 (CET)

b) Beweis der Transitivität der ||-Relation--Unicycle 22:02, 17. Jan. 2013 (CET)