Lösung von Zusatzaufgabe 5.1P (WS 12 13): Unterschied zwischen den Versionen
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a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math> . <br /> | a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math> . <br /> | ||
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br /> | b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br /> | ||
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+ | a) Voraussetzung: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c</math><br /> | ||
+ | Behauptung: <math>a \|| c</math><br /> | ||
+ | Annahme: <math>\neg (a||c)</math> <br /> | ||
+ | 1.) <math>\ a \cap c </math> = {S} ______________ Annahme<br /> | ||
+ | 2.) <math>S \in a ; S \in c</math>______________ 1.)<br /> | ||
+ | 3.) <math>a||b \wedge \neg (c||b)</math>______________ 2.); Parallelenaxiom<br /> | ||
+ | Widerspruch zur Voraussetzung<br /> | ||
+ | * Ich kann den Beweis bis auf Schritt 3. gut nachvollziehen. Wie genau kommst du darauf, dass c nicht parallel zu b sein kann?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:50, 18. Jan. 2013 (CET) | ||
− | + | Wenn a durch S parallel zu b ist, dann kann, laut Parallelenaxiom, c durch S nicht auch parallel zu b sein.--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 15:47, 19. Jan. 2013 (CET) > genau! Sehr gut!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:21, 20. Jan. 2013 (CET) | |
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+ | b) Beweis der Transitivität der ||-Relation--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 22:02, 17. Jan. 2013 (CET) | ||
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Aktuelle Version vom 20. Januar 2013, 13:21 Uhr
Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:
Es seien a, b und c drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: .
b) Welche Eigenschaft der Relation auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?
a) Voraussetzung:
Behauptung:
Annahme:
1.) = {S} ______________ Annahme
2.) ______________ 1.)
3.) ______________ 2.); Parallelenaxiom
Widerspruch zur Voraussetzung
- Ich kann den Beweis bis auf Schritt 3. gut nachvollziehen. Wie genau kommst du darauf, dass c nicht parallel zu b sein kann?--Tutorin Anne 18:50, 18. Jan. 2013 (CET)
Wenn a durch S parallel zu b ist, dann kann, laut Parallelenaxiom, c durch S nicht auch parallel zu b sein.--Unicycle 15:47, 19. Jan. 2013 (CET) > genau! Sehr gut!--Tutorin Anne 12:21, 20. Jan. 2013 (CET)
b) Beweis der Transitivität der ||-Relation--Unicycle 22:02, 17. Jan. 2013 (CET)