Lösungen WiSe 2011/12 - Serie 05: Unterschied zwischen den Versionen

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{Ich bin ein Freund der ästhetischen Mathematik und hätte mich auch mit der ersten Lösung zufrieden gegeben, habe aber gegen alle Warnungen weitergelesen}
 
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Version vom 30. November 2011, 22:35 Uhr

Aufgabe 5.1

Reduktionssatz Schritt 01.png

Es sei Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): \overline{A'B'C'_1 

das Bild von \overline{ABC} bei einer Bewegung \varphi.

Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): \overline{A'_1B'_1C'_1 

sei das Bild von \overline{ABC} bei der Spiegelung an der Mittelsenkrechten von \overline{CC'_1}.

Beweisen Sie:

Die Mittelsenkrechte von \overline{B'_1B'} geht durch den Punkt C'_1.

Die Mittelsenkrechte von \overline{A'_1A'} geht durch den Punkt C'_1.

Beweis ws 11 12-5 1.JPG --Flo60 22:26, 29. Nov. 2011 (CET)

Aufgabe 5.2

Das Bild aus Aufgabe 5.1 suggeriert, dass die Mittelsenkrechten von \overline{B'_1B'} und \overline{A'_1A'} identisch sind. Zeigen Sie mittels einer Skizze, dass es Fälle gibt, in denen dieselben Voraussetzungen wie in Aufgabe 5.1 gelten, die genannten beiden Mittelsenkrechten jedoch nicht identisch sind.

Aufgabe 5.3

Definition: (Verschiebung)

Die Nacheinanderausführung zweier Geradenspiegelungen S_a und S_b mit b \|| a heißt Verschiebung.

Beweisen Sie:

  1. Die Identität ist eine Verschiebung.


Für diejenigen, die an die Ästhetik der Mathematik appelieren, sei gesagt, dass sie bitte nicht mehr weiterlesen sollen. Es wird nicht schön. Für euch sei gesagt, dass die Identität durch Spiegelung an zwei identischen Geraden hergestellt werden kann. Das sollte genügen und ist unmittelbar einleuchtend.
Diejenigen, die sich immer schon mit der Thematik 'Wie schaffe ich es, einfache und unmittelbar einleuchtende Dinge kompliziert darzustellen und dabei ohne Rücksicht auf Verluste vorzugehen, der hole sich bitte noch ein Bier, ein paar Chips, lehnt sich in seinem Sessel gemütlich zurück und lässt den Wahnsinn einfach vor seinen Augen geschehen.

LIGHT OFF - SPOT ON!

Wir setzen logischerweise ebene Geometrie voraus.
Wir haben gegeben: Zwei parallele Geraden a und b. Ferner betrachten wir alle beliebigen Punkte P der Ebene.
Behauptung: Die Identität ist eine Verschiebung.
Es gilt also zu zeigen, dass für jeden Punkt P gilt: \forall P \in \epsilon: S_a(S_b(P)) \equiv P


Es gelte: S_a(S_b(P))= P' Wir werden keine Fallunterscheidung durchführen, da es für unsere Beweisführung (fast) keine Rolle spielt, ob P auf a oder b liegt, da wir uns alle Punkte anschauen und für alle Punkte gleichermaßen den Beweis führen. Ein Punkt alleine würde zum Nachweis der Identität so und so nicht reichen.

Wenn P an der Geraden a gespiegelt wird, dann gilt nach der Definition der Spiegelung, dass a die Mittelsenkrechten von \overline{PP'} ist. Nach der gleichen Definition gilt aber auch, dass die Abbildung von P' auf P genau dann zustande kommt, wenn eine Gerade g Mittelsenkrechten von \overline{PP'} ist. Weil nun \overline{PP'} \equiv \overline{PP'} (der Leser überzeuge sich selbst) gilt auch, dass die Menge aller Punkte für die gilt, dass der Abstand zu den Endpunkten der Strecke \overline{PP'} identisch zu sich selbst ist. Aus diesen Punkten folgt: a\equiv b \Leftrightarrow S_b o S_a = id.

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit :-).

Pluspunkt für eine richtige Antwort:  
Minuspunkte für eine falsche Antwort:
Ignoriere den Fragen-Koeffizienten:

1. Ich bin ein Freund der ästhetischen Mathematik und hätte mich auch mit der ersten Lösung zufrieden gegeben, habe aber gegen alle Warnungen weitergelesen

JA
→erwischt :-)
NEIN
→gut, dann hat sich die Arbeit wenigstens gelohnt :-)

Punkte: 0 / 0

--Flo60 21:29, 30. Nov. 2011 (CET)


  1. Wenn die beiden Spiegelgeraden a und b den Abstand d zueinander haben, dann gilt \forall A: \left|A S_b \left( S_a \left( A \right) \right)\right| =2d
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