Lineare Abbildungen, Vektorraumisomorphismus 2012 13: Unterschied zwischen den Versionen
Aus Geometrie-Wiki
Jessy* (Diskussion | Beiträge) (→Drehungen um den Ursprung des Koordinatensystems) |
Jessy* (Diskussion | Beiträge) (→Drehung) |
||
Zeile 16: | Zeile 16: | ||
==== Drehungen um den Ursprung des Koordinatensystems ==== | ==== Drehungen um den Ursprung des Koordinatensystems ==== | ||
''' | ''' | ||
− | + | Drehung der kanonischen Basisvektoren</u><br /> | |
<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix}</math><br /><br /> | <math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix}</math><br /><br /> | ||
<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}</math><br /><br /> | <math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}</math><br /><br /> | ||
Zeile 34: | Zeile 34: | ||
(H) <math> \varphi </math> ist homomorph<br /> | (H) <math> \varphi </math> ist homomorph<br /> | ||
(A) <math> \varphi </math> ist additiv<br /><br /> | (A) <math> \varphi </math> ist additiv<br /><br /> | ||
+ | Beweis zum Homomorphismus:<br /> | ||
+ | <math> \varphi ( \vec{x} + \vec{y}) = | ||
+ | \varphi \begin{pmatrix} x_1+y_1 \\ x_2+y_2 \end{pmatrix} = | ||
+ | \begin{pmatrix} (x_1+y_1) \cdot cos \alpha -(x_2+y_2) \cdot sin \alpha\\ (x_1+y_1) \cdot sin \alpha + (x_2+y_2) \cdot cos \alpha \end{pmatrix} = | ||
+ | \begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha + y_1 \cdot cos \alpha -x_2 \cdot sin \alpha - y_2 \cdot sin \alpha\\ x_1 \cdot sin \alpha + y_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha y_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} = | ||
+ | \begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha -x_2 \cdot sin \alpha + y_1 \cdot cos \alpha - y_2 \cdot sin \alpha\\ x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha + y_1 \cdot sin \alpha + y_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} = | ||
+ | \begin{pmatrix} x_1 \cdot cos \alpha -x_2 \cdot sin \alpha \\ x_1 \cdot sin \alpha + x_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} + | ||
+ | \begin{pmatrix} y_1 \cdot cos \alpha - y_2 \cdot sin \alpha \\ y_1 \cdot sin \alpha + y_2 \cdot cos \alpha \end{pmatrix} = | ||
+ | \varphi ( \vec{x}) + \varphi ( \vec{y}) | ||
==Geradenspiegelung== | ==Geradenspiegelung== |