Linearkombinationen 2012 13: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Definition|(Linearkombination)<br />Als Linearkombination der Vektoren <math>\vec{v_1}, \vec{v_2}, ... , \vec{v_n}</math> bezeichnet man den Vektor<br /> <math>\vec{x}=\lambda_1\cdot \vec{v_1}+ \lambda_2 \cdot \vec{v_2} + ... + \lambda_n \cdot \vec{v_n}= \sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot \vec{v_i}</math> (mit <math>\lambda_1, \lambda_2, ... ,\lambda_n \in \mathbb{R}</math>).}}<br /><br />
 
=Lineare Abhängigkeit=
 
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<u>Idee der linearen Abhängigkeit:</u> Es existiert ein Vektor der eine Linearkombination der anderen Vektoren ist.<br /><br />
 
=== Lineare Abhängigkeit von zwei Vektoren ===
 
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Zwei Vektoren <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> sind linear abhängig, wenn sie ein Vielfaches voneinander sind.<br /><br />
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Zwei Vektoren <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> sind linear abhängig, wenn sie ein Vielfaches voneinander sind, bzw. wenn einer der beiden Vektoren ein Linearkombination des anderen ist.<br />
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Anders formuliert: Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie zur selben Pfeilklasse gehören, also parallel sind.<br /><br />
 
<u>Beispiel:</u><br />
 
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<math> \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} </math> und <math> \vec{b} = \begin{pmatrix} 8 \\ 12 \end{pmatrix} </math><br /><br />
 
<math> \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} </math> und <math> \vec{b} = \begin{pmatrix} 8 \\ 12 \end{pmatrix} </math><br /><br />
 
<math> 4 \cdot \vec{a} = \vec{b} </math><br /><br />
 
<math> 4 \cdot \vec{a} = \vec{b} </math><br /><br />
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[[Bild:LA_zu_einem_Vektor.JPG|400px]] Die Vektoren <math> \vec{b}, \vec{c}, \vec{d} </math> sind linearabhängig zu <math> \vec{a} </math><br /><br />
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[[Bild:LA_zu_einem_Vektor2.JPG|500px]] Die Vektoren <math> \vec{b}, \vec{c}, \vec{d} </math> sind linearabhängig zu <math> \vec{a} </math><br /><br />
 
<u>Gegenbeispiel:</u><br />
 
<u>Gegenbeispiel:</u><br />
 
<math> \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} </math> und <math> \vec{b} = \begin{pmatrix} 8 \\ 15 \end{pmatrix} </math><br /><br />
 
<math> \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} </math> und <math> \vec{b} = \begin{pmatrix} 8 \\ 15 \end{pmatrix} </math><br /><br />
 
Es gibt keine reelle Zahl, die mit <math> \vec{a} </math> multipliziert den <math> \vec{b} </math> ergibt.<br /><br />
 
Es gibt keine reelle Zahl, die mit <math> \vec{a} </math> multipliziert den <math> \vec{b} </math> ergibt.<br /><br />
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[[Bild:LUA_zu_einem_Vektor.JPG|400px]] Die Vektoren <math> \vec{b}, \vec{c}, \vec{d} </math> sind nicht linearabhängig zu <math> \vec{a} </math><br /><br />
 
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--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 18:36, 18. Jan. 2013 (CET)
  

Aktuelle Version vom 18. Januar 2013, 20:09 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Darstellung von Vektoren mittels anderer Vektoren

Linearkombinationen

Definition

(Linearkombination)
Als Linearkombination der Vektoren \vec{v_1}, \vec{v_2}, ... , \vec{v_n} bezeichnet man den Vektor
\vec{x}=\lambda_1\cdot \vec{v_1}+ \lambda_2 \cdot \vec{v_2} + ... + \lambda_n \cdot \vec{v_n}= \sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot \vec{v_i} (mit \lambda_1, \lambda_2, ... ,\lambda_n \in \mathbb{R}).



Lineare Abhängigkeit

Idee der linearen Abhängigkeit: Es existiert ein Vektor der eine Linearkombination der anderen Vektoren ist.

Lineare Abhängigkeit von zwei Vektoren

Zwei Vektoren \vec{a} und \vec{b} sind linear abhängig, wenn sie ein Vielfaches voneinander sind, bzw. wenn einer der beiden Vektoren ein Linearkombination des anderen ist.
Anders formuliert: Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie zur selben Pfeilklasse gehören, also parallel sind.

Beispiel:
\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} und \vec{b} = \begin{pmatrix} 8 \\ 12 \end{pmatrix}

4 \cdot \vec{a} = \vec{b}

LA zu einem Vektor2.JPG Die Vektoren \vec{b}, \vec{c}, \vec{d} sind linearabhängig zu \vec{a}

Gegenbeispiel:
\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} und \vec{b} = \begin{pmatrix} 8 \\ 15 \end{pmatrix}

Es gibt keine reelle Zahl, die mit \vec{a} multipliziert den \vec{b} ergibt.

LUA zu einem Vektor.JPG Die Vektoren \vec{b}, \vec{c}, \vec{d} sind nicht linearabhängig zu \vec{a}

--Jessy* 18:36, 18. Jan. 2013 (CET)

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