Linearkombinationen 2012 13

Darstellung von Vektoren mittels anderer Vektoren Linearkombinationen Definition (Linearkombination) Als Linearkombination der Vektoren $\vec{v_1}, \vec{v_2}, ... , \vec{v_n}$ bezeichnet man den Vektor $\vec{x}=\lambda_1\cdot \vec{v_1}+ \lambda_2 \cdot \vec{v_2} + ... + \lambda_n \cdot \vec{v_n}= \sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot \vec{v_i}$ (mit $\lambda_1, \lambda_2, ... ,\lambda_n \in \mathbb{R}$). Lineare Abhängigkeit Idee der linearen Abhängigkeit: Es existiert ein Vektor der eine Linearkombination der anderen Vektoren ist. Lineare Abhängigkeit von zwei Vektoren Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind linear abhängig, wenn sie ein Vielfaches voneinander sind, bzw. wenn einer der beiden Vektoren ein Linearkombination des anderen ist. Anders formuliert: Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie zur selben Pfeilklasse gehören, also parallel sind. Beispiel: $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} 8 \\ 12 \end{pmatrix}$ $4 \cdot \vec{a} = \vec{b}$ Die Vektoren $\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ sind linearabhängig zu $\vec{a}$ Gegenbeispiel: $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} 8 \\ 15 \end{pmatrix}$ Es gibt keine reelle Zahl, die mit $\vec{a}$ multipliziert den $\vec{b}$ ergibt. Die Vektoren $\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ sind nicht linearabhängig zu $\vec{a}$ --Jessy* 18:36, 18. Jan. 2013 (CET)