Quiz der Woche: Unterschied zwischen den Versionen

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Es sei <math>R</math> ein Äquivalenzrelation auf der Menge <math>M</math>. Wir zerlegen M derart in Teilmengen, dass gilt: Zwei Elemente von M liegen genau dann in derselben Teilmenge, wenn sie in Relation zueinander stehen.
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Es sei <math>\ R</math> ein Äquivalenzrelation auf der Menge <math> \ M</math>. Wir zerlegen <math>\ M</math> derart in Teilmengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math>, dass gilt: Jede der Teilmengen besteht aus all den Elementen von <math> \ M</math>, die in der Relation <math>\ R</math> zueinander stehen.<br />
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'''Satz:''' <br />Die Zerlegung von <math>\ M</math> in die Teilmengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math> ist eine Klasseneinteilung von <math>\ M</math>.
  
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Im folgenden soll bewiesen werden, dass die so gewonnenen Teilmengen von M eine Klasseneinteilung von M sind. Ergänzen Sie dementsprechend die folgenden Ausführungen:
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[[Beispiel zu dieser Idee, Klassen einzuteilen]]
  
 
<quiz>
 
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{ Vorbereitende Überlegungen
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<big>'''Die Idee, eine Klasse durch eines ihrer Elemente zu beschreiben.'''</big><br>
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{Wir wollen versuchen, die Art und Weise der Generierung einer beliebigen der Teilmengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math> formal zu beschreiben. Diesbezüglich stellen wir fest, dass es sinnvoller ist, nicht mit Zahlen, sondern Elementen aus <math>\ M</math> zu indizieren. Unter der Klasse <math>\ T_a</math> verstehen wir dann alle Elemente von <math>\ M</math>, die mit dem Element <math>\ a</math> aus M in der Relation <math>\ R</math> stehen. Welche der folgenden formalen Definitionen ist bezüglich dieser Idee korrekt?}
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+ <math> \bigwedge_{a \in M}: T_a:= \lbrace b| b \in M \land bRa \rbrace </math>
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|| so liest sich das: Für alle <math>a</math> aus <math>M</math> legen wir die Teilmenge <math>T_a</math> derart fest, dass zu ihr alle Elemente <math>b</math> aus <math>M</math> gehören, die mit <math>a</math> in der Relation <math>R</math> stehen.
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+ <math> \bigwedge_{b \in M}: T_b:= \lbrace x| x \in M \land xRb \rbrace </math>
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|| Genau dasselbe wie zuvor, nur heißt <math>a</math> jetzt <math>b</math> und <math>b</math> dafür <math>x</math>.
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{ <big>'''Überlegungen zur Voraussetzung'''</big>
 
| type="{}" }
 
| type="{}" }
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Voraussetzung: <math>R</math> ist eine  { Äquivalenzrelation }  
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<u>Voraussetzung:</u> <math>R</math> ist eine  { Äquivalenzrelation }  
 
Das bedeutet:  
 
Das bedeutet:  
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(1): <math>R</math> ist { reflexiv }
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(R) <math>R</math> ist { reflexiv }
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Karl: "Ich stehe { hinter } { dem } Eingang."
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(S) <math>R</math> ist { symmetrisch }  
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Anne: "Gehen wir noch { ins } Cafe Central?"
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(T) <math>R</math> ist  { transitiv }
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Karl: "Gern, { im } Cafe Central war ich schon lange nicht."
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{ <big>'''Überlegungen zur Behauptung'''</big>
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| type="{}" }
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<u>Behauptung:</u> Die Einteilung von <math>\ M</math> in die Teilmengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math> ist eine { Klasseneinteilung } von <math>\ M</math>.
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Das bedeutet, dass wir zu zeigen haben:
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(L) Der Durchschnitt zweier verschiedener Teilmengen <math>\ T_i</math> und <math>\ T_j</math> ist die { leere Menge }
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(S) Die Vereinigungsmenge aller Teilmengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math> ist die Menge { M }
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(0) Weder <math>\ T_1</math> noch <math>\  T_2 </math> noch irgendeine andere der Mengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math> ist { leer }.
 
</quiz>
 
</quiz>

Aktuelle Version vom 16. Mai 2010, 17:54 Uhr

Es sei \ R ein Äquivalenzrelation auf der Menge \ M. Wir zerlegen \ M derart in Teilmengen \ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ..., dass gilt: Jede der Teilmengen besteht aus all den Elementen von \ M, die in der Relation \ R zueinander stehen.
Satz:
Die Zerlegung von \ M in die Teilmengen \ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ... ist eine Klasseneinteilung von \ M.

Beispiel zu dieser Idee, Klassen einzuteilen

Pluspunkt für eine richtige Antwort:  
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Ignoriere den Fragen-Koeffizienten:

1. Die Idee, eine Klasse durch eines ihrer Elemente zu beschreiben.
{Wir wollen versuchen, die Art und Weise der Generierung einer beliebigen der Teilmengen \ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ... formal zu beschreiben. Diesbezüglich stellen wir fest, dass es sinnvoller ist, nicht mit Zahlen, sondern Elementen aus \ M zu indizieren. Unter der Klasse \ T_a verstehen wir dann alle Elemente von \ M, die mit dem Element \ a aus M in der Relation \ R stehen. Welche der folgenden formalen Definitionen ist bezüglich dieser Idee korrekt?

\bigwedge_{a \in M}: T_a:= \lbrace b| b \in M \land bRa \rbrace
→ so liest sich das: Für alle a aus M legen wir die Teilmenge T_a derart fest, dass zu ihr alle Elemente b aus M gehören, die mit a in der Relation R stehen.
\bigwedge_{b \in M}: T_b:= \lbrace x| x \in M \land xRb \rbrace
→ Genau dasselbe wie zuvor, nur heißt a jetzt b und b dafür x.

2. Überlegungen zur Voraussetzung

Voraussetzung: R ist eine
Das bedeutet:
(R) R ist
(S) R ist
(T) R ist

3. Überlegungen zur Behauptung

Behauptung: Die Einteilung von \ M in die Teilmengen \ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ... ist eine von \ M.
Das bedeutet, dass wir zu zeigen haben:
(L) Der Durchschnitt zweier verschiedener Teilmengen \ T_i und \ T_j ist die
(S) Die Vereinigungsmenge aller Teilmengen \ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ... ist die Menge
(0) Weder \ T_1 noch \ T_2 noch irgendeine andere der Mengen \ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ... ist .

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