Quiz der Woche

Es sei $\ R$ ein Äquivalenzrelation auf der Menge $\ M$. Wir zerlegen $\ M$ derart in Teilmengen $\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...$, dass gilt: Jede der Teilmengen besteht aus all den Elementen von $\ M$, die in der Relation $\ R$ zueinander stehen.

Übung zur Generierung einer Klasseneinteilung entsprechend obiger Idee.
Wir gehen von der folgenden Menge $\ M$ aus:
$\lbrace$-26, 17, 75, -40, -13, 17, -55, -15, 7, -35, 95, 65, -9, 40, 3, 0,91, 70, -62, -22, 12, 26, 31,33, 50, -15, -100, -83, -61, -17 $\rbrace$
Die Relation $\ R$ sei wie folgt festgelegt: Zwei Zahlen aus $\ M$ stehen in Relation zueinander, wenn sie bei Division durch 4 denselben Rest lassen. Da als Reste nur die Zahlen 0, 1, 2 und 3 in Frage kommen wird $\ M$ in 4 verschiedene Klassen entsprechend dieser Relation eingeteilt. Die Zahlen -40, 17, -26 und 75 gehören dementsprechend jeweils in eine eigene Klasse. Orden Sie die restlichen Zahlen durch Ziehen mit der Maus den richtigen Klassen zu.

-40	40	0	12	-100
17	17	-55	-15	-35	65	33	-15	-83
-26	70	-62	-22	26	50
75	-13	7	95	-9	3	91	31	-61	-17

Pluspunkt für eine richtige Antwort:
Minuspunkte für eine falsche Antwort:
Ignoriere den Fragen-Koeffizienten:

1. Die Idee, eine Klasse durch eines ihrer Elemente zu beschreiben.
{Wir wollen versuchen, die Art und Weise der Generierung einer beliebigen der Teilmengen $\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...$ formal zu beschreiben. Diesbezüglich stellen wir fest, dass es sinnvoller ist, nicht mit Zahlen, sondern Elementen aus $\ M$ zu indizieren. Unter der Klasse $\ T_a$ verstehen wir dann alle Elemente von $\ M$, die mit dem Element $\ a$ aus M in der Relation $\ R$ stehen. Welche der folgenden formalen Definitionen ist bezüglich dieser Idee korrekt?

	$\bigwedge_{a \in M}: T_a:= \lbrace b| b \in M \land bRa \rbrace$
→	so liest sich das: Für alle $a$ aus $M$ legen wir die Teilmenge $T_a$ derart fest, dass zu ihr alle Elemente $b$ aus $M$ gehören, die mit $a$ in der Relation $R$ stehen.
	$\bigwedge_{b \in M}: T_b:= \lbrace x| x \in M \land xRb \rbrace$
→	Genau dasselbe wie zuvor, nur heißt $a$ jetzt $b$ und $b$ dafür $x$.

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Im folgenden soll bewiesen werden, dass die so gewonnenen Teilmengen von $M$ eine Klasseneinteilung von $M$ sind. Ergänzen Sie dementsprechend die folgenden Ausführungen:

Pluspunkt für eine richtige Antwort:
Minuspunkte für eine falsche Antwort:
Ignoriere den Fragen-Koeffizienten:

1. Überlegungen zur Voraussetzung

Voraussetzung: $R$ ist eine

Das bedeutet:

(R) $R$ ist

(S) $R$ ist

(T) $R$ ist

2. Überlegungen zur Behauptung

Behauptung: Die Einteilung von $\ M$ in die Teilmengen $\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...$ ist eine von $\ M$.

Das bedeutet, dass wir zu zeigen haben:

(L) Der Durchschnitt zweier verschiedener Teilmengen $\ T_i$ und $\ T_j$ ist die

(S) Die Vereinigungsmenge aller Teilmengen $\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...$ ist die Menge

(0) Weder $\ T_1$ noch $\ T_2$ noch irgendeine andere der Mengen $\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...$ ist .

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