Quelltext der Seite Serie 02 zum 21.11.17 und 28.11.17

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#CCFFCC; align:left;">
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=Aufgabe 2.1=
Unter einer Untergruppe einer Gruppe <math>[G,\odot]</math> versteht man eine Teilmenge <math>U</math> von <math>G</math>, die bezüglich <math>\odot</math> sie eine Gruppe ist. Erstellen sie einen Untergruppengraphen der Gruppe der Deckabbildungen des Quadrates und stellen Sie Beziehungen zum Haus der Vierecke her.
=Aufgabe 2.2=
Stellen Sie die Gruppen des Untergruppengraphen aus Aufgabe 2.1 in der Form von Matrizengruppen dar.
=Aufgabe 2.3=
Beweisen Sie: In jeder Gruppe <math>
</math> ist für beliebige <math>[G,\otimes]</math> sind die Gleichungen <math>a \otimes x=b</math> und <math>y \otimes a=b</math> immer eindeutig lösbar für beliebige <math>a,b \in G</math>.
=Aufgabe 2.4.=
Beweisen Sie: In jeder Gruppe <math>[G,\odot]</math> gilt für beliebige <math>a, b \in G: (a\odot b)^{-1}=b^{-1}\odot a^{-1}</math>.
=Aufgabe 2.5=
Es sei <math>[G, \oplus]</math> eine Gruppe. Beweisen Sie: In der Gruppentafel von <math>[G, \oplus ]</math> tritt jedes Element aus <math>G</math> in jeder Zeile und in jeder Spalte genau einmal auf.
=Aufgabe 2.6=
Unter der Ordnung <math>|G|</math>einer Gruppe <math>[G,\cdot]</math> versteht man die Anzahl der Elemente von <math>G</math>.
Untersuchen Sie die Untergruppengraphen aus Aufgabe 2.1 hinsichtlich der auftretenden Gruppenordnungen in diesem Graphen. Was stellen Sie fest?
=Aufgabe 2.7=
Unter der Ordnung <math>|g|</math> eines Elementes <math>g</math> einer Gruppe <math>[G,+]</math> versteht man die kleinste Zahl <math>m \in \mathbb{N}</math> für die gilt <math>g^m=n</math>, wobei unter <math>n</math> das neutrale Element der Gruppe <math>[G,+]</math> zu verstehen ist. Bestimmen Sie alle Elementordnungen in folgenden Gruppen
# Restklassen modulo <math>7</math> bezüglich der Restklassenaddition,
# Restklassen modulo <math>7</math> bezüglich der Restklassenmultiplikation.
=Aufgabe 2.8=
Es sei  <math>[G,*]</math> eine Gruppe in deren Gruppentafel in der Hauptdiagonalen an jeder Position das Einselement <math>e</math> der Gruppe <math>[G,*]</math> auftritt. Was wissen Sie über die Ordnungen aller Elemente von <math>[G,*]</math>?
=Aufgabe 2.9=
Eine zyklische Gruppe ist eine Gruppe, in der es ein Element gibt, dessen Ordnung gleich der Gruppenordnung ist. Beweisen Sie: zyklische Gruppen sind immer kommutativ.
=Aufgabe 2.10=
Beweisen Sie:
#Es gibt genau eine Typ von Gruppen der Ordnung 3.
#Es gibt genau zwei Typen von Gruppen der Ordnung 4.

<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
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[[Kategorie:Algebra]]