Serie 3 SoSe 2018

Übungsaufgaben zum 01.05.2018

Aufgabe 3.1 SoSe 2018

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Der Winkel bei $C$ sei der größte Winkel in diesem Dreieck. Formulieren Sie mit den speziellen Seiten- und Winkelbezeichnungen für dieses Dreieck
(a) den Satz des Pythagoras,
(b) die Umkehrung des Satzes von Pythagoras,
(c) die Kontraposition des Satzes von Pythagoras.

Aufgabe 3.2 SoSe 2018

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck mit schulüblichen Bezeichnungen. Der Innenwinkel $\gamma$ sei ein Rechter.
Beweisen Sie:
$\begin{matrix} (a) & b^2 &=& q &\cdot& c \\ (b) & a^2 &=& p & \cdot & c \end{matrix}$

Den Satz des Pythagoras und den Höhensatz für rechtwinklige Dreiecke dürfen Sie als bewiesen voraussetzen.

Aufgabe 3.3 SoSe 2018

Zwischendurch eine Definition:
Ergänzen Sie für die ebene Geometrie:
Definition: (Bild eines Punktes bei einer Spiegelung an einer Geraden)

Es sei $g$ eine Gerade.

Der Punkt $P$ wird bei der Spiegelung an $g$ auf sich selbst abgebildet, wenn ...

Ansonsten gilt für $P$ und sein Bild $P'$ bei der Spiegelung an $g$ ...

Aufgabe 3.4 SoSe 2018

Wiederholen Sie die Definition von Sinus und Cosinus am Einheitskreis. Beweisen Sie den trigonometrischen Pythagoras.

Aufgabe 3.5 SoSe 2018

Es sei $k$ ein Kreis mit dem Mittelpunkt $M$. Definieren Sie, was man unter einem Durchmesser von $k$ versteht.

Aufgabe 3.6 SoSe 2018

$\overline{ABCD}$ und $\overline{EFGH}$ seien Quadrate. Die einzelnen schraffierten Punktmengen seien das Innere von Viertelkreisen.

Beweisen Sie: Der prozentuale Anteil der schraffierten Flächen in Bezug auf die Fläche des jeweiligen Quadrats $\overline{ABCD}$ bzw.$\overline{EFGH}$ ist gleich.

Aufgabe 3.7 SoSe 2018

Gegeben sei ein Dreieck $\overline{ABC}$ mit dem Umkreis $k$. Der Mittelpunkt von $k$ möge ein Punkt der Strecke $\overline{AB}$ sein. Der Winkel $\angle CAB$ habe die Größe $25$°. Berechnen Sie die folgenden Winkelgrößen:

1. $|\angle ACM|$
2. $|\angle AMC|$
3. $|\angle CMB|$
4. $|\angle ABC|$
5. $|\angle MCB|$
6. $|\angle ACB|$

Begründen Sie die Korrektheit Ihrer Berechnungen außschließlich unter Verwendung der folgenden Sätze:

• Innenwinkelsatz für Dreiecke
• Nebenwinkelsatz
• Basiswinkelsatz für gleichschenklige Dreiecke