Serie 3 SoSe 2018

Übungsaufgaben zum 01.05.2018

Aufgabe 3.1 SoSe 2018

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Der Winkel bei $C$ sei der größte Winkel in diesem Dreieck. Formulieren Sie mit den speziellen Seiten- und Winkelbezeichnungen für dieses Dreieck
(a) den Satz des Pythagoras,
(b) die Umkehrung des Satzes von Pythagoras,
(c) die Kontraposition des Satzes von Pythagoras.
$\gamma = 90^\circ \Rightarrow a^2+b^2=c^2$
Lösung von Aufgabe 3.1 SoSe 2018

Aufgabe 3.2 SoSe 2018

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck mit schulüblichen Bezeichnungen. Der Innenwinkel $\gamma$ sei ein Rechter.
Beweisen Sie:
$\begin{matrix} (a) & b^2 &=& q &\cdot& c \\ (b) & a^2 &=& p & \cdot & c \end{matrix}$

Den Satz des Pythagoras und den Höhensatz für rechtwinklige Dreiecke dürfen Sie als bewiesen voraussetzen.
Lösung von Aufgabe 3.2 SoSe 2018

Aufgabe 3.3 SoSe 2018

Zwischendurch eine Definition:
Ergänzen Sie für die ebene Geometrie:
Definition: (Bild eines Punktes bei einer Spiegelung an einer Geraden)

Es sei $g$ eine Gerade.

Der Punkt $P$ wird bei der Spiegelung an $g$ auf sich selbst abgebildet, wenn ...

Ansonsten gilt für $P$ und sein Bild $P'$ bei der Spiegelung an $g$ ...

Lösung von Aufgabe 3.3 SoSe 2018

Aufgabe 3.4 SoSe 2018

Wiederholen Sie die Definition von Sinus und Cosinus am Einheitskreis. Beweisen Sie den trigonometrischen Pythagoras.
Lösung von Aufgabe 3.4 SoSe 2018

Aufgabe 3.5 SoSe 2018

Es sei $k$ ein Kreis mit dem Mittelpunkt $M$. Definieren Sie, was man unter einem Durchmesser von $k$ versteht.
Lösung von Aufgabe 3.5 SoSe 2018

Aufgabe 3.6 SoSe 2018

$\overline{ABCD}$ und $\overline{EFGH}$ seien Quadrate. Die einzelnen schraffierten Punktmengen seien das Innere von Viertelkreisen.

Beweisen Sie: Der prozentuale Anteil der schraffierten Flächen in Bezug auf die Fläche des jeweiligen Quadrats $\overline{ABCD}$ bzw.$\overline{EFGH}$ ist gleich.

Lösung von Aufgabe 3.6 SoSe 2018

Aufgabe 3.7 SoSe 2018

Gegeben sei ein Dreieck $\overline{ABC}$ mit dem Umkreis $k$. Der Mittelpunkt von $k$ möge ein Punkt der Strecke $\overline{AB}$ sein. Der Winkel $\angle CAB$ habe die Größe $25$°. Berechnen Sie die folgenden Winkelgrößen:

1. $|\angle ACM|$
2. $|\angle AMC|$
3. $|\angle CMB|$
4. $|\angle ABC|$
5. $|\angle MCB|$
6. $|\angle ACB|$

Begründen Sie die Korrektheit Ihrer Berechnungen außschließlich unter Verwendung der folgenden Sätze:

• Innenwinkelsatz für Dreiecke
• Nebenwinkelsatz
• Basiswinkelsatz für gleichschenklige Dreiecke

Lösung von Aufgabe 3.7 SoSe 2018

Aufgabe 3.8 SoSe 2018

Es sei $\overline{ABCD}$ ein Viereck, dessen Diagonalen einander gegenseitig halbieren. Beweisen Sie: $AB \| CD$.
Lösung von Aufgabe 3.8 SoSe 2018

Aufgabe 3.9 SoSe 2018

Die folgende Aussage mögen wahr sein:
(I) Durch zwei verschiedene Punkte geht genau eine Gerade.
Wir betrachten den folgenden Satz:

Wenn zwei Geraden $a$ und $b$ nicht identisch sind, dann haben Sie nicht mehr als einen Punkt gemeinsam.

(a) Beweisen Sie den Satz, indem Sie seine Kontraposition beweisen.
(b) Beweisen Sie den Satz mittels eines Widerspruchsbeweises.
Lösung von Aufgabe 3.9 SoSe 2018

Aufgabe 3.10 SoSe 2018

Wir haben bereits bewiesen, dass aus dem Nebenwinkelsatz der Scheitelwinkesatz folgt. Jetzt machen wir es umgekehrt:
Beweisen Sie, dass aus dem Scheitelwinkelsatz der Nebenwinkelsatz folgt.
Lösung von Aufgabe 3.10 SoSe 2018