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| | ===Teil1 des Mitschnitts vom 28.04.2020: Begriff der Bewegung=== | | ===Teil1 des Mitschnitts vom 28.04.2020: Begriff der Bewegung=== |
| | <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/lQYjKKyxe5I" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture" allowfullscreen></iframe> | | <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/lQYjKKyxe5I" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture" allowfullscreen></iframe> |
| − | =Übungsaufgaben zum Thema=
| + | [[Übungsaufgaben Elementargeometrie SoSe 2020, Eigenschaften von Bewegungen und Fixpunkte, Fixgerade]] |
| − | ==Aufgabe 1.1==
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| − | '''Satz 1.7:''' Eindeutige Bestimmtheit von Bewegungen durch ein Dreieck und dessen Bild <br />
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| − | Jede Bewegung <math>\varphi</math> ist durch drei nichtkollineare Punkte <math>A,B,C</math> und deren Bilder <math>A',B',C'</math> eindeutig bestimmt.
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| − | Der Satz ist wie folgt zu verstehen: Anstelle einer allgemeinen Abbildungsvorschrift für eine Bewegung <math>\varphi</math> kann man auch eine Dreieck <math>\overline{ABC}</math> und dessen Bild <math>\overline{A'B'C'}</math> bei <math>\varphi</math> vorgeben und für jeden weiteren Punkt <math>D</math> ist sein Bild <math>D'</math> bei <math>\varphi</math> eindeutig bestimmt. <br />
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| − | Beweisen Sie Satz 1.7 <br />
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| − | Hinweis: Geben Sie sich ein Dreieck und dessen Bild vor und konstruieren Sie dann für einen beliebigen Punkt <math>D</math> sein Bild. Beschreiben Sie dann ihre Konstruktion und Sie haben den Beweis.
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| − | ==Aufgabe 1.2==
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| − | Es seien <math>k_1</math> und <math>k_2</math> zwei Kreise mit den Mittelpunkten <math>M_1</math> und <math>M_2</math>. Der Schnitt <math>k_1 \cap k_2</math> möge aus genau den beiden Punkten <math>S_1</math> und <math>S_2</math> bestehen. Ein dritter Kreis <math>k_3</math> mit dem Mittelpunkt <math>M_3</math> möge ebefalls durch die beiden Punkte <math>S_1</math> und <math>S_2</math> gehen. Beweisen Sie <math>\operatorname{koll}(M_1,M_2,M_3)</math>.
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| − | ==Aufgabe 2.1 Fixgeraden einer Spiegelung==
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| − | Es sei <math>S_g</math> die Spiegelung an der Geraden <math>g</math>. Es gibt unendlich viele Geraden, die bzgl. <math>S_g</math> Fixgeraden aber keine Fixpunktgeraden sind. Beschreiben Sie diese Geraden.
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| − | ==Aufgabe 2.2 Fixpunkte bei der Zentralprojektion==
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| − | Wir betrachten alle Punkte des Raumes. Die sogenannte Zentralprojektion <math>ZP_{Z,\beta}</math> bildet diese Punkte auf eine Bildebene <math>\beta</math> ab. Hierzu bestimmt man einen sogenannten Zentralpunkt außerhalb von <math>\beta</math>. Es sei <math>Z \not \in \beta</math> dieser Zentralpunkt. Das Bild eines beliebigen Punktes <math>P</math> ist der Schnittpunkt der Geraden <math>ZP</math> mit der Bildebene <math>\beta</math>: <math>P':=ZP \cap \beta</math>.
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| − | # Bezüglich eines Punktes ist <math>ZP_{Z,\beta}</math> keine Abbildung. Welcher Punkt des Raumes ist das? Begründen Sie Ihre Antwort.
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| − | # <math>ZP_{Z,\beta}</math> hat unendlich viele Fixpunkte . Beschreiben Sie diese.
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| − | # <math>ZP_{Z,\beta}</math> hat unendlich viele Fixpunktgeraden, jedoch keine Fixgerade, die nicht gleichzeitig Fixpunktgerade ist. Erklären Sie diesen Sachverhalt.
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| − | # Ist <math>ZP_{Z,\beta}</math> geradentreu? Begründen Sie Ihre Antwort.
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| − | # Für einige Winkel ist <math>ZP_{Z,\beta}</math> winkeltreu. Für welche?
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| − | # Der Zentralpunkt einer zentrischen Streckung ist Fixpunkt dieser zentrischen Streckung. Warum ist der Zentralpunkt einer Zentralprojektion kein Fixpunkt dieser Zentralprojektion?
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| − | ==Aufgabe 2.3 Klassifikation von Bewegungen nach fixen Elementen ==
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| − | Im Laufe des Semesters werden wir beweisen, dass es genau vier Typen von Bewegungen gibt:
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| − | # Geradenspiegelungen
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| − | # Drehungen
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| − | # Verschiebungen
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| − | # Schubspiegelungen (NAF von Verschiebung und Geradenspiegelung)
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| − | Die Identität gilt als Spezialfall sowohl der Verschiebungen als auch der Drehungen. Die Identität lassen Sie bitte bei den Folgenden Betrachtungen außen vor.\\
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| − | Ordnen Sie diese Typen von Bewegungen den folgenden Eigenschaften zu:
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| − | # Die Bewegung hat keinen Fixpunkt.
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| − | # Die Bewegung hat genau einen Fixpunkt.
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| − | # Die Bewegung hat genau zwei Fixpunkte.
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| − | # Die Bewegung hat genau eine Fixpunktgerade.
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| − | # Die Bewegung hat mehr als drei paarweise verschiedene Fixpunkte.
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| − | # Die Bewegung hat genau drei nichtkollineare Fixpunkte.
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| − | # Die Bewegung hat genau eine Fixgerade.
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| − | # Die Bewegung hat keine Fixpunktgerade.
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| − | ==Aufgabe 2.4 Berechnung eines Fixpunktes ==
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| − | Wir betrachten die NAF der beiden Geradenspiegelungen <math>S_g</math> und <math>S_h</math>. Die Spiegelachsen <math>g</math> und <math>h</math> werden bzgl. eines kartesischen Koordinatensytems wie folgt beschrieben:
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| − | # g: <math>y(x)=\frac{2}{ 3}x+\frac{1}{ 2}</math>
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| − | # h: <math>y(x)=-\frac{3}{ 2}x+\frac{1}{ 2}</math>
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| − | Geben Sie die Koordinaten des Fixpunktes von <math>S_g \circ S_h</math> an.
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| − | [[Kategorie: Elementargeometrie]]
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