Übungsaufgaben Elementargeometrie SoSe 2020, Eigenschaften von Bewegungen und Fixpunkte, Fixgerade

Übungsaufgaben zum Thema

Aufgabe 1.1

Satz 1.7: Eindeutige Bestimmtheit von Bewegungen durch ein Dreieck und dessen Bild

Jede Bewegung $\varphi$ ist durch drei nichtkollineare Punkte $A,B,C$ und deren Bilder $A',B',C'$ eindeutig bestimmt.

Der Satz ist wie folgt zu verstehen: Anstelle einer allgemeinen Abbildungsvorschrift für eine Bewegung $\varphi$ kann man auch eine Dreieck $\overline{ABC}$ und dessen Bild $\overline{A'B'C'}$ bei $\varphi$ vorgeben und für jeden weiteren Punkt $D$ ist sein Bild $D'$ bei $\varphi$ eindeutig bestimmt.

Beweisen Sie Satz 1.7

Hinweis: Geben Sie sich ein Dreieck und dessen Bild vor und konstruieren Sie dann für einen beliebigen Punkt $D$ sein Bild. Beschreiben Sie dann ihre Konstruktion und Sie haben den Beweis.

Aufgabe 1.2

Es seien $k_1$ und $k_2$ zwei Kreise mit den Mittelpunkten $M_1$ und $M_2$. Der Schnitt $k_1 \cap k_2$ möge aus genau den beiden Punkten $S_1$ und $S_2$ bestehen. Ein dritter Kreis $k_3$ mit dem Mittelpunkt $M_3$ möge ebefalls durch die beiden Punkte $S_1$ und $S_2$ gehen. Beweisen Sie $\operatorname{koll}(M_1,M_2,M_3)$.

Aufgabe 2.1 Fixgeraden einer Spiegelung

Es sei $S_g$ die Spiegelung an der Geraden $g$. Es gibt unendlich viele Geraden, die bzgl. $S_g$ Fixgeraden aber keine Fixpunktgeraden sind. Beschreiben Sie diese Geraden.

Aufgabe 2.2 Fixpunkte bei der Zentralprojektion

Wir betrachten alle Punkte des Raumes. Die sogenannte Zentralprojektion $ZP_{Z,\beta}$ bildet diese Punkte auf eine Bildebene $\beta$ ab. Hierzu bestimmt man einen sogenannten Zentralpunkt außerhalb von $\beta$. Es sei $Z \not \in \beta$ dieser Zentralpunkt. Das Bild eines beliebigen Punktes $P$ ist der Schnittpunkt der Geraden $ZP$ mit der Bildebene $\beta$: $P':=ZP \cap \beta$.

1. Bezüglich eines Punktes ist $ZP_{Z,\beta}$ keine Abbildung. Welcher Punkt des Raumes ist das? Begründen Sie Ihre Antwort.
2. $ZP_{Z,\beta}$ hat unendlich viele Fixpunkte . Beschreiben Sie diese.
3. $ZP_{Z,\beta}$ hat unendlich viele Fixpunktgeraden, jedoch keine Fixgerade, die nicht gleichzeitig Fixpunktgerade ist. Erklären Sie diesen Sachverhalt.
4. Ist $ZP_{Z,\beta}$ geradentreu? Begründen Sie Ihre Antwort.
5. Für einige Winkel ist $ZP_{Z,\beta}$ winkeltreu. Für welche?
6. Der Zentralpunkt einer zentrischen Streckung ist Fixpunkt dieser zentrischen Streckung. Warum ist der Zentralpunkt einer Zentralprojektion kein Fixpunkt dieser Zentralprojektion?

Aufgabe 2.3 Klassifikation von Bewegungen nach fixen Elementen

Im Laufe des Semesters werden wir beweisen, dass es genau vier Typen von Bewegungen gibt:

1. Geradenspiegelungen
2. Drehungen
3. Verschiebungen
4. Schubspiegelungen (NAF von Verschiebung und Geradenspiegelung)

Die Identität gilt als Spezialfall sowohl der Verschiebungen als auch der Drehungen. Die Identität lassen Sie bitte bei den Folgenden Betrachtungen außen vor.\\ Ordnen Sie diese Typen von Bewegungen den folgenden Eigenschaften zu:

1. Die Bewegung hat keinen Fixpunkt.
2. Die Bewegung hat genau einen Fixpunkt.
3. Die Bewegung hat genau zwei Fixpunkte.
4. Die Bewegung hat genau eine Fixpunktgerade.
5. Die Bewegung hat mehr als drei paarweise verschiedene Fixpunkte.
6. Die Bewegung hat genau drei nichtkollineare Fixpunkte.
7. Die Bewegung hat genau eine Fixgerade.
8. Die Bewegung hat keine Fixpunktgerade.

Aufgabe 2.4 Berechnung eines Fixpunktes

Wir betrachten die NAF der beiden Geradenspiegelungen $S_g$ und $S_h$. Die Spiegelachsen $g$ und $h$ werden bzgl. eines kartesischen Koordinatensytems wie folgt beschrieben:

1. g: $y(x)=\frac{2}{ 3}x+\frac{1}{ 2}$
2. h: $y(x)=-\frac{3}{ 2}x+\frac{1}{ 2}$

Geben Sie die Koordinaten des Fixpunktes von $S_g \circ S_h$ an.