Tangentenkriterium: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 28. Juli 2011, 18:38 Uhr

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1 Tangentenkriterium

Tangentenkriterium

Kriterium: (Tangete am Kreis)

Eine Gerade t, die durch einen Punkt A eines Kreises k mit dem Mittelpunkt M verläuft, ist genau dann Tangente an k, wenn t senkrecht auf MA steht.

Satz 1: (Tangete am Kreis)

$\ t \cap k = \lbrace A\rbrace \Rightarrow MA \perp \ t$

Beweis durch Wiederspruch:
Voraussetzung: $\ t \cap k = \lbrace A\rbrace$
Behauptung: $MA \perp \ t$

Annahme: $\ MA \not\perp \ t$

1	Es existiert ein Lot von M auf t, dieses ist eindeutig. Der Lotfußpunkt auf k heiße B.	Ex. und Eindeutigkeit Lot, Annahme, Voraussetzung
2	Es existiert genau ein Punkt C für den gilt, dass o. B. d. A. $\operatorname(Zw) (C, B, A)$ und $\|CB\| = \|BA\|$	Axiom vom Lineal, Abstandsaxiom, Definition zwischenrelation, Voraussetzung, (1) und Skizze
3	$\|\angle MBA \| = \|\angle MBC\| = 90$	nach Konstruktion, Def. NW, Def. supplementär, Supplementaxiom, Def. Lot (1)
4	$\overline{MBA} \cong \overline{MBC}$	SWS, (2), (3) und weil trivialerweise $\overline{MB}$ zu sich selbst kongruent ist.
5	Somit ist nach der Dreieckskongruenz und aus (4) $\|MC\| = \|MA\| = r$ nach Voraussetzung und es ergeben sich zwei Schnittpunkte, was ein Widerspruch zur Voraussetzung ist.

--Flo60 10:53, 24. Jul. 2011 (CEST)
Beweisidee und Begründung ist richtig. Schöner wäre der Beweis sicher, wenn du mehrer kleinen Schritte aufführst, anstatt mit 6 Begründungen einen riesen Schritt durchführst.--Tutorin Anne 16:31, 24. Jul. 2011 (CEST)

Danke für den Hinweis, das Wiki streicht viele Aspekte heraus, wenn man mit "|" in der Tabelle arbeitet - ich habs geändert. --Flo60 19:14, 24. Jul. 2011 (CEST)

Satz 2: (Tangente am Kreis)

$MA \perp \ t \wedge$ t schneidet k im Punkt A $\Rightarrow$ t ist Tangente an k.

Eigentlich erscheint dieser Beweis komisch. Allerdings könnte es ja sein, dass wenn eine Gerade durch eben einen Punkt A verläuft und senkrecht auf dem Berührradius steht, dass dann trotzdem ein zweiter Schnittpunkt vorhanden ist mit k und dann wäre halt t keine Tangente mehr.

Einschub von --WikiNutzer 13:21, 26. Jul. 2011 (CEST): Wenn in der Voraussetzung steht: :: $MA \perp \ t \wedge k \cap t = \lbrace A\rbrace$ , heißt das dann nicht schon, dass es nur einen Schnittpunkt von t und k gibt? Vermutlich ist aber genau das zu beweisen, denn dass eine Gerade, die einen Kreis in genau einem Punkt schneidet, Tangente heißt, ist doch Definition und nicht Satz. Vielleicht wäre :: $MA \perp \ t \wedge \lbrace A\rbrace \in k \cap t$ besser in der Voraussetzung? [Einschub von --WikiNutzer 13:21, 26. Jul. 2011 (CEST) Ende]

Da hast du aus meiner Sicht vollkommen recht. Ich habe es abgeändert (in Worten, deines wäre denke ich genauso richtig gewesen). --Flo60 21:42, 27. Jul. 2011 (CEST)

Voraussetzung: $MA \perp \ t \wedge k \cap t = \lbrace A\rbrace$
Behauptung: t ist Tangente an k
Annahme: Es ex. ein Punkt S: $S \neq A \wedge \ t \cap k = \lbrace S\rbrace$

Ich versuche diesen Beweis bewusst in der absoluten Geometrie zu Beweisen. Mit der Innenwinklesumme wäre es natürlich noch einfacher, aber zwecks der Übung.

1	$\left\| MA \right\| = \left\| MS \right\|$	Annahme, Definiton Kreis und Radius
2	$\|\angle MAS\| = \|\angle MSA\| = 90$	Voraussetzung, Basiswinkelsatz, (1), Def. Senkrecht
3	Demnach sind im Dreieck zwei Winkel nicht spitz, was ein Widerspruch zu einem der Korollare ist. Demnach ist die Annahme zu verwerfen.	Korollar des schwachen Außenwinkelsatzes, (2), Definition Dreieck

--Flo60 10:53, 24. Jul. 2011 (CEST) Gut! Aber auch hier lieber ein paar Schritte mehr!--Tutorin Anne 16:34, 24. Jul. 2011 (CEST)

Wieso wird bei der Umkehrung eine Senkrechte auf dem Radius ausgeschlossen? Die Umkehrung lautet doch: Wenn t senkrecht auf MA, dann ist t Tangente. Und t kann doch Senkrecht auf MA stehen und den Kreis zweimal schneiden? --Verteidigungswolf 17:44, 26. Jul. 2011 (CEST) Du hast recht, die Voraussetzung ist nicht richtig. Es darf nicht angegeben werden, dass Kreis und Gerade genau einen Schnittpunkt A haben. --Tutorin Anne 18:38, 28. Jul. 2011 (CEST)

@@ Zeile 17: / Zeile 17: @@
 | 1 || Es existiert ein Lot von M auf t, dieses ist eindeutig. Der Lotfußpunkt auf k heiße B. || Ex. und Eindeutigkeit Lot, Annahme, Voraussetzung
 |-
-| 2 || Es existiert genau ein Punkt C für den gilt, dass o. B. d. A. <math>\operatorname(Zw) (C, B, A)</math> und |CB| = |BA| || Axiom vom Lineal, Abstandsaxiom, Definition zwischenrelation, Voraussetzung, (1) und Skizze
+| 2 || Es existiert genau ein Punkt C für den gilt, dass o. B. d. A. <math>\operatorname(Zw) (C, B, A)</math> und <math>|CB| = |BA|</math> || Axiom vom Lineal, Abstandsaxiom, Definition zwischenrelation, Voraussetzung, (1) und Skizze
 |-
 | 3 || <math>|\angle MBA | = |\angle MBC| = 90</math> || nach Konstruktion, Def. NW, Def. supplementär, Supplementaxiom, Def. Lot (1)
@@ Zeile 23: / Zeile 23: @@
 | 4 || <math>\overline{MBA} \cong \overline{MBC}  </math> || SWS, (2), (3) und weil trivialerweise <math> \overline{MB}</math> zu sich selbst kongruent ist.
 |-
-| 5 || Somit ist nach der Dreieckskongruenz und aus (4) |MC| = |MA| = r nach Voraussetzung und es ergeben sich zwei Schnittpunkte, was ein Widerspruch zur Voraussetzung ist.
+| 5 || Somit ist nach der Dreieckskongruenz und aus (4) <math>|MC| = |MA| = r</math> nach Voraussetzung und es ergeben sich zwei Schnittpunkte, was ein Widerspruch zur Voraussetzung ist.
 |}
 <br />
 <ggb_applet width="1366" height="604"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
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---[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 10:53, 24. Jul. 2011 (CEST)
+--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 10:53, 24. Jul. 2011 (CEST)<br />
+Beweisidee und Begründung ist richtig. Schöner wäre der Beweis sicher, wenn du mehrer kleinen Schritte aufführst, anstatt mit 6 Begründungen einen riesen Schritt durchführst.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:31, 24. Jul. 2011 (CEST)
+<br />
+<br />
+Danke für den Hinweis, das Wiki streicht viele Aspekte heraus, wenn man mit "|" in der Tabelle arbeitet - ich habs geändert. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 19:14, 24. Jul. 2011 (CEST)
 ===== Satz 2: (Tangente am Kreis) =====
-::<math>MA \perp \ t \wedge k \cap t = \lbrace A\rbrace  \Rightarrow     </math> t ist Tangente an k. <br />
+::<math>MA \perp \ t \wedge </math> t schneidet k im Punkt A <math>  \Rightarrow     </math> t ist Tangente an k. <br />
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 Eigentlich erscheint dieser Beweis komisch. Allerdings könnte es ja sein, dass wenn eine Gerade durch eben einen Punkt A verläuft und senkrecht auf dem Berührradius steht, dass dann trotzdem ein zweiter Schnittpunkt vorhanden ist mit k und dann wäre halt t keine Tangente mehr.
+<br /><br />
+Einschub von --[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 13:21, 26. Jul. 2011 (CEST): Wenn in der Voraussetzung steht: ::<math>MA \perp \ t \wedge k \cap t = \lbrace A\rbrace </math>, heißt das dann nicht schon, dass es nur einen Schnittpunkt von t und k gibt? Vermutlich ist aber genau das zu beweisen, denn dass eine Gerade, die einen Kreis in genau einem Punkt schneidet, Tangente heißt, ist doch Definition und nicht Satz. Vielleicht wäre ::<math>MA \perp \ t \wedge  \lbrace  A\rbrace \in  k \cap t
+ </math> besser in der Voraussetzung? [Einschub von --[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 13:21, 26. Jul. 2011 (CEST) Ende]
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-Voraussetzung: <math>MA \perp \ t \wedge k \cap t = \lbrace A\rbrace </math><br />
+Da hast du aus meiner Sicht vollkommen recht. Ich habe es abgeändert (in Worten, deines wäre denke ich genauso richtig gewesen). --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 21:42, 27. Jul. 2011 (CEST)
+<br /><br />
+Voraussetzung: <math>MA \perp  \ t \wedge  k \cap t = \lbrace A\rbrace </math><br />
 Behauptung: t ist Tangente an k <br />
 Annahme: Es ex. ein Punkt S: <math>S \neq A \wedge \ t \cap k = \lbrace   S\rbrace</math>
@@ Zeile 53: / Zeile 62: @@
 | 3 || Demnach sind im Dreieck zwei Winkel nicht spitz, was ein Widerspruch zu einem der Korollare ist. Demnach ist die Annahme zu verwerfen. || Korollar des schwachen Außenwinkelsatzes, (2), Definition Dreieck
 |}
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+<ggb_applet width="1366" height="604"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
 <br />--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 10:53, 24. Jul. 2011 (CEST)
+Gut! Aber auch hier lieber ein paar Schritte mehr!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:34, 24. Jul. 2011 (CEST)
+Wieso wird bei der Umkehrung eine Senkrechte auf dem Radius ausgeschlossen? Die Umkehrung lautet doch: Wenn t senkrecht auf MA, dann ist t Tangente. Und t kann doch Senkrecht auf  MA stehen und den Kreis zweimal schneiden?
+--[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]] 17:44, 26. Jul. 2011 (CEST) Du hast recht, die Voraussetzung ist nicht richtig. Es darf nicht angegeben werden, dass Kreis und Gerade genau einen Schnittpunkt A haben. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:38, 28. Jul. 2011 (CEST)

Tangentenkriterium: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 28. Juli 2011, 18:38 Uhr

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