Tangentenkriterium: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 24. Juli 2011, 11:00 Uhr

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1 Tangentenkriterium

Tangentenkriterium

Kriterium: (Tangete am Kreis)

Eine Gerade t, die durch einen Punkt A eines Kreises k mit dem Mittelpunkt M verläuft, ist genau dann Tangente an k, wenn t senkrecht auf MA steht.

Satz 1: (Tangete am Kreis)

$\ t \cap k = \lbrace A\rbrace \Rightarrow MA \perp \ t$

Beweis durch Wiederspruch:
Voraussetzung: $\ t \cap k = \lbrace A\rbrace$
Behauptung: $MA \perp \ t$

Annahme: $\ MA \not\perp \ t$

1	Es existiert ein Lot von M auf t, dieses ist eindeutig. Der Lotfußpunkt auf k heiße B.	Ex. und Eindeutigkeit Lot, Annahme, Voraussetzung
2	CB\| = \|BA\|	Axiom vom Lineal, Abstandsaxiom, Definition zwischenrelation, Voraussetzung, (1) und Skizze
3	$\|\angle MBA \| = \|\angle MBC\| = 90$	nach Konstruktion, Def. NW, Def. supplementär, Supplementaxiom, Def. Lot (1)
4	$\overline{MBA} \cong \overline{MBC}$	SWS, (2), (3) und weil trivialerweise $\overline{MB}$ zu sich selbst kongruent ist.
5	MC\| = \|MA\| = r nach Voraussetzung und es ergeben sich zwei Schnittpunkte, was ein Widerspruch zur Voraussetzung ist.

--Flo60 10:53, 24. Jul. 2011 (CEST)

Satz 2: (Tangente am Kreis)

$MA \perp \ t \wedge k \cap t = \lbrace A\rbrace \Rightarrow$ t ist Tangente an k.

Eigentlich erscheint dieser Beweis komisch. Allerdings könnte es ja sein, dass wenn eine Gerade durch eben einen Punkt A verläuft und senkrecht auf dem Berührradius steht, dass dann trotzdem ein zweiter Schnittpunkt vorhanden ist mit k und dann wäre halt t keine Tangente mehr.

Voraussetzung: $MA \perp \ t \wedge k \cap t = \lbrace A\rbrace$
Behauptung: t ist Tangente an k
Annahme: Es ex. ein Punkt S: $S \neq A \wedge \ t \cap k = \lbrace S\rbrace$

Ich versuche diesen Beweis bewusst in der absoluten Geometrie zu Beweisen. Mit der Innenwinklesumme wäre es natürlich noch einfacher, aber zwecks der Übung.

1	$\left\| MA \right\| = \left\| MS \right\|$	Annahme, Definiton Kreis und Radius
2	$\|\angle MAS\| = \|\angle MSA\| = 90$	Voraussetzung, Basiswinkelsatz, (1), Def. Senkrecht
3	Demnach sind im Dreieck zwei Winkel nicht spitz, was ein Widerspruch zu einem der Korollare ist. Demnach ist die Annahme zu verwerfen.	Korollar des schwachen Außenwinkelsatzes, (2), Definition Dreieck

--Flo60 10:53, 24. Jul. 2011 (CEST)

@@ Zeile 25: / Zeile 25: @@
 | 5 || Somit ist nach der Dreieckskongruenz und aus (4) |MC| = |MA| = r nach Voraussetzung und es ergeben sich zwei Schnittpunkte, was ein Widerspruch zur Voraussetzung ist.
 |}
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 --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 10:53, 24. Jul. 2011 (CEST)

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