Tangentenkriterium

Aus Geometrie-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche

Inhaltsverzeichnis

Tangentenkriterium

Kriterium: (Tangete am Kreis)
Eine Gerade t, die durch einen Punkt A eines Kreises k mit dem Mittelpunkt M verläuft, ist genau dann Tangente an k, wenn t senkrecht auf MA steht.
Satz 1: (Tangete am Kreis)
\ t \cap k = \lbrace A\rbrace \Rightarrow MA  \perp \ t



Beweis durch Wiederspruch:
Voraussetzung: \ t \cap k = \lbrace A\rbrace
Behauptung: MA  \perp \ t

Annahme: \ MA \not\perp \ t


1 Es existiert ein Lot von M auf t, dieses ist eindeutig. Der Lotfußpunkt auf k heiße B. Ex. und Eindeutigkeit Lot, Annahme, Voraussetzung
2 CB| = |BA| Axiom vom Lineal, Abstandsaxiom, Definition zwischenrelation, Voraussetzung, (1) und Skizze
3 |\angle MBA | = |\angle MBC| = 90 nach Konstruktion, Def. NW, Def. supplementär, Supplementaxiom, Def. Lot (1)
4 \overline{MBA} \cong \overline{MBC}  MB| = |MB|
5 MC| = |MA| = r nach Voraussetzung und es ergeben sich zwei Schnittpunkte, was ein Widerspruch zur Voraussetzung ist.


Satz 2: (Tangente am Kreis)
MA \perp \ t \wedge k \cap t = \lbrace A\rbrace  \Rightarrow     t ist Tangente an k.



Eigentlich erscheint dieser Beweis komisch. Allerdings könnte es ja sein, dass wenn eine Gerade durch eben einen Punkt A verläuft und senkrecht auf dem Berührradius steht, dass dann trotzdem ein zweiter Schnittpunkt vorhanden ist mit k und dann wäre halt t keine Tangente mehr.

Voraussetzung: MA \perp \ t \wedge k \cap t = \lbrace A\rbrace
Behauptung: t ist Tangente an k
Annahme: Es ex. ein Punkt S: S \neq A \wedge \ t \cap k = \lbrace   S\rbrace

Ich versuche diesen Beweis bewusst in der absoluten Geometrie zu Beweisen. Mit der Innenwinklesumme wäre es natürlich noch einfacher, aber zwecks der Übung.

1 \left| MA \right| = \left| MS \right| Annahme, Definiton Kreis und Radius
2 |\angle MAS| = |\angle MSA| = 90 Voraussetzung, Basiswinkelsatz, (1), Def. Senkrecht
3 Demnach sind im Dreieck zwei Winkel nicht spitz, was ein Widerspruch zu einem der Korollare ist. Demnach ist die Annahme zu verwerfen. Korollar des schwachen Außenwinkelsatzes, (2), Definition Dreieck


--Flo60 10:53, 24. Jul. 2011 (CEST)