Vorbereitung auf die Konferenz am 24.04.2020 Geometrieeinführung: Unterschied zwischen den Versionen
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Definieren Sie die Begriffe Schnittmenge und Vereinigungsmenge. | Definieren Sie die Begriffe Schnittmenge und Vereinigungsmenge. | ||
+ | =Definieren= | ||
+ | ==Was ist eine Definition?== | ||
+ | *Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht.<br /> | ||
+ | *Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll.<br /> '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1. | ||
+ | *Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten.<br />'''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt:<br /> Bsp. Definition Rechteck: <br />Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. <br />Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist.<br /><br /> | ||
+ | |||
+ | ==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren== | ||
+ | Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren. | ||
+ | ===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen=== | ||
+ | Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert. | ||
+ | ====Das Übliche, die Realdefinition==== | ||
+ | ::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>. | ||
+ | |||
+ | ====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"==== | ||
+ | ::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>. | ||
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+ | ====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition==== | ||
+ | ::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>. | ||
+ | ===Beispiel 2: Drachenviereck=== | ||
+ | Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert. | ||
+ | ====Realdefinition==== | ||
+ | ::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck. | ||
+ | ====Konventionaldefinition==== | ||
+ | ::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck. | ||
+ | ====genetisch, operative Definition==== | ||
+ | ::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck. | ||
+ | |||
+ | ==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen== | ||
+ | Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen:<br />* {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}}<br /> | ||
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+ | ==Entwicklung einer "neuen" Definition== | ||
+ | Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. <br /> | ||
+ | YOUTUBE --> http://www.youtube.com/watch?v=7UD8hOs-vaI | ||
+ | |||
+ | <br /> | ||
+ | Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie?<br /><br /> | ||
+ | In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen:<br /> | ||
+ | * ein Kreis der nicht überall den gleichen Radius hat | ||
+ | * ein Kreis der eiförmig ist | ||
+ | * ein plattgedrückter Kreis | ||
+ | * sieht aus wie eine Stadionlaufbahn | ||
+ | * entsteht bei der Gärtnerkonstruktion --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] ([[Benutzer Diskussion:Schnirch|Diskussion]]) 15:08, 21. Okt. 2019 (CEST) (erarbeitet in der Vorlesung am 21.10.) | ||
+ | --- | ||
+ | Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach.<br />Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. | ||
+ | <br /><br /> | ||
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+ | <ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /><br /> | ||
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+ | '''Aufgaben:'''<br /> | ||
+ | #Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b'').<br />Welche Zusammenhänge entdecken Sie? | ||
+ | #Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs <br />Ellipse zu entwickeln.<br /><br /> | ||
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+ | ====Definition E.1: Ellipse==== | ||
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+ | ====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse==== | ||
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+ | #Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren?<br /> | ||
+ | Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.<br /> | ||
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+ | 1) | ||
+ | Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte P, für die gilt: | ||
+ | |||
+ | <math>| F_{1}P | + | F_{2} P | = const., mit F_{1}, F_{2}, P \epsilon E (Ebene) </math> | ||
+ | |||
+ | 2) | ||
+ | Ein Kreis ist eine Ellipse, bei der die Beiden Brennpunkte <math>F_{1} + F_{2}</math> identisch sind. | ||
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+ | --[[Benutzer:Emiliam|Emiliam]] ([[Benutzer Diskussion:Emiliam|Diskussion]]) 15:29, 21. Okt. 2019 (CEST) | ||
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+ | [[Category:Geo_P]] | ||
Version vom 18. April 2020, 13:00 Uhr
MengenlehreArbeiten Sie das folgende Skript zur Mengenlehre durch: Lösen Sie dann die folgenden Aufgaben: Aufgabe Mengenlehre 01sei die Menge aller durch teilbaren Zahlen. sei die Menge aller durch teilbaren Zahlen. Beschreiben Sie . Aufgabe Mengenlehre 02sei die Menge aller geraden natürlichen Zahlen, die Menge aller ungeraden ganzen Zahlen. Beschreiben Sie . Aufgabe Mengenlehre 03Es sei die Menge aller Parallelogramme und die Menge aller symmetrischen Trapeze. Beschreiben Sie die Menge . Aufgabe Mengenlehre 04Geben Sie zwei Mengen an, deren Schnittmenge die Menge aller Quadrate ist. Aufgabe Mengenlehre 05Definieren Sie die Begriffe Schnittmenge und Vereinigungsmenge. DefinierenWas ist eine Definition?
Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulierenEs gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren. Beispiel 1: ggT zweier ganzer ZahlenDie Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert. Das Übliche, die Realdefinition
Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"
Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition
Beispiel 2: DrachenviereckDie Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert. Realdefinition
Konventionaldefinition
genetisch, operative Definition
Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen NiveaustufenAus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.
Entwicklung einer "neuen" DefinitionIm Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff Ellipse zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen.
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Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach.
Aufgaben:
Definition E.1: EllipseDefinition K.1: Kreis als spezielle Ellipse
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus. 1) Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte P, für die gilt:
2) Ein Kreis ist eine Ellipse, bei der die Beiden Brennpunkte identisch sind. --Emiliam (Diskussion) 15:29, 21. Okt. 2019 (CEST)
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