Was ist eine Gruppe? SoSe 2017

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Inhaltsverzeichnis

Beispiele für Gruppen

endliche Gruppen

Die Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks

Die Gruppe der Deckabbildungen der Raute

unendliche Gruppen

Gebrochene Zahlen: [\mathbb{Q}^+, \cdot ]

Ganze Zahlen: [\mathbb{Z}, +]

Gegenbeispiele für Gruppen

Gruppendefinitionen

Die "übliche" Gruppendefinition (lange Version)

Definition


Es sei G eine nichtleere Menge auf der eine Verknüpfung \odot.
Wenn die folgenden Axiome erfüllt sind, heißt die Struktur \mathbb{G}:=[G, \odot ] Gruppe:

  1. \odot ist auf G abgeschlossen: \forall a,b \in G: a \odot b \in G
  2. \odot ist assoziativ auf G: \forall a, b, c \in G: (a \odot b) \odot c = a \odot (b \odot c)
  3. Bezüglich \odot existiert in G ein ("universelles") Einslement e: \exist e \in G \forall a \in G: a \odot e = e \odot a= a .
  4. Bezüglich \odot existiert zu jedem a aus G ein ("persönliches") inverses Element a^{-1}: \forall a \in G \exist a^{-1} \in G: a \odot a^{-1} = a^{-1} \odot a = e.