Was ist eine Gruppe? SoSe 2017

Beispiele für Gruppen endliche Gruppen Die Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks Die Gruppe der Deckabbildungen der Raute unendliche Gruppen Gebrochene Zahlen: $[\mathbb{Q}^+, \cdot ]$ Ganze Zahlen: $[\mathbb{Z}, +]$ Gegenbeispiele für Gruppen Gruppendefinitionen Die "übliche" Gruppendefinition (lange Version) Definition Es sei $G$ eine nichtleere Menge auf der eine Verknüpfung $\odot$. Wenn die folgenden Axiome erfüllt sind, heißt die Struktur $\mathbb{G}:=[G, \odot ]$ Gruppe: $\odot$ ist auf $G$ abgeschlossen: $\forall a,b \in G: a \odot b \in G$ $\odot$ ist assoziativ auf $G$: $\forall a, b, c \in G: (a \odot b) \odot c = a \odot (b \odot c)$ Bezüglich $\odot$ existiert in $G$ ein ("universelles") Einslement $e$: $\exist e \in G \forall a \in G: a \odot e = e \odot a= a$. Bezüglich $\odot$ existiert zu jedem $a$ aus $G$ ein ("persönliches") inverses Element $a^{-1}$: $\forall a \in G \exist a^{-1} \in G: a \odot a^{-1} = a^{-1} \odot a = e$. Die "übliche" Gruppendefinition (kurze Version) {{Definition|1= Es sei $G$ eine nichtleere Menge auf der eine Verknüpfung $\odot$. Wenn die folgenden Axiome erfüllt sind, heißt die Struktur $\mathbb{G}:=[G, \odot ]$ Gruppe: $\odot$ ist auf $G$ abgeschlossen: $\forall a,b \in G: a \odot b \in G$ $\odot$ ist assoziativ auf $G$: $\forall a, b, c \in G: (a \odot b) \odot c = a \odot (b \odot c)$ Bezüglich $\odot$ existiert in $G$ ein ("universelles") Einslement $e$: $\exist e \in G \forall a \in G: e \odot a= a$. Bezüglich $\odot$ existiert zu jedem $a$ aus $G$ ein ("persönliches") inverses Element $a^{-1}$: $\forall a \in G \exist a^{-1} \in G: a^{-1} \odot a = e$.