Quelltext der Seite Was kann, was soll Abbildungsgeometrie in der Schule (2010)

==Das Anliegen der Vorlesung==
Bewegungen sind seit längerer Zeit integraler Stoff des Geometrieunterrichts der Schule. Bereits in der Primarstufe beschäftigen sich die Schüler mit achsensymmetrischen Figuren und in diesem Zusammenhang mit Geradenspiegelungen.<br />
In letzter Zeit zeigen die Lehrbücher insbesondere der SI eine vergleichsweise geringere Gewichtung der Kongruenzabbildungen als etwa noch vor 5 Jahren. Eine Rückkehr zur eher statischen Kongruenzgeometrie auf der Grundlage der Dreieckskongruenz scheint sich anzubahnen.<br />
Die Vorlesung soll aufzeigen wodurch dieser Paradigmenwechsel zustande kam. In diesem Zusammenhang wird aufgezeigt welche Probleme und welche Potenzen eine Kongruenzgeometrie auf abbildungsgeometrischer Grundlage für den Unterricht der Primar- und insbesondere der Sekundarstufe in sich birgt.
== Noch einmal: die zwei Aspekte der Kongruenzgeometrie ==


{| class="wikitable center"
|+ Kongruenzgeometrie 
|- style="background: #DDFFDD;"
! auf der Grundlage der Dreieckskongruenz
! auf der Grundlage des Bewegungsbegriffs

|-
| Ausgangspunkt: Dreieckskongruenzsätze
| Ausgangspunkt: Bewegungen als abstandserhaltende Abbildung

|-
| <math>\ \overline{AB} \cong \overline{CD} := |AB| = |CD|</math><br />
<math>\ \angle{ASB} \cong \angle{PZQ} := |\angle{ASB}| = |\angle{PZQ}| </math><br />
<math>\ \overline{ABC} \cong \overline{A'B'C'}:= \overline{AB} \cong \overline{A'B'} \land \overline{BC} \cong \overline{B'C'}\land \overline{CA} \cong \overline{C'A'} </math><br /><math> \land  \angle{ABC} \cong \angle{A'B'C'} \land  \angle{BCA} \cong \angle{B'C'A'}\land  \angle{CAB} \cong \angle{C'A'B'}</math><br />
Es seien <math>\ F_1</math> und <math>\ F_2</math> zwei Figuren. <math>\ F_1  \cong F_2 := </math> alle Strecken und alle Winkel von <math>F_1</math> konkruent zu <math>F_2</math> sind (???)
| Es seien <math>\ F_1</math> und <math>\ F_2</math> zwei Figuren. <math>\ F_1  \cong F_2 := \exists \beta : \beta (F_1) = F_2</math>

|}
--[[Benutzer:Tetraeder|Tetraeder]] 22:36, 15. Dez. 2010 (UTC)

== Wege zur Definition des Begriffs der Kongruenzabbildung ==

# Allgemeiner Bewegungsbegriff → axiomatische Absicherung der Existenz von Bewegungen (Bewegungsaxiom) → Kongruenzabbildung als Synonym → spezielle Kongruenzabbildungen (Spiegelung, Drehung, Verschiebung).
#Geradenspiegelung → axiomatische Begründung von Geradenspiegelungen → Nacheinanderausführung von Geradenspiegelungen → Bewegung bzw. Kongruenzabbildung als Nacheinanderausführung zweier bzw. dreier Geradenspiegelungen.
# axiomatische Begründung der Dreieckskongruenz (SWS) → Definition der Bewegung als abstandserhaltende Abbildung der Ebene auf sich → Synonym Kongruenzabbildung → definition und Untersuchung spezieller Kongruenzabbildungen.
# axiomatische Begründung der Dreieckskongruenz (SWS) → Untersuchung von Geradenspiegelungen, Verschiebungen, Drehungen → Bewegung bzw. Kongruenzabbildung als Nacheinanderausführung von Spiegelungen, Verschiebungen und Drehungen.

== Abbildungsgeometrische Beweise ==
=== Lange vorherrschende Meinung in der Mathematikdidaktik ===
Abbildungsgeometrische Beweise sind einfach, elegant, anschaulich und gut zu verstehen.

'''WIRKLICH????????'''
=== Beispiele ===
==== Beispiel 1 ====
=====Satz=====
::Die Nacheinanderausführung zweier Drehungen <math>\ D_{Z_1,\alpha}</math> und <math>\ D_{Z_2,\beta}</math> mit <math>\ Z_1</math> und <math>\ Z_2</math> sind verschieden voneinander ist entweder eine Drehung oder eine Verschiebung.
=====Beweis=====
<math>\ D_{Z_2,\beta} \circ \ D_{Z_1,\alpha} = S_d \circ S_c \circ S_b \circ S_a</math>

<ggb_applet width="755" height="593"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" />

<br /><br />

Ist das was für Schüler der SI?

==== Beispiel 2====
=====Der Basiswinkelsatz=====
::Wenn ein Dreieck gleichschenklig ist, dann sind seine Basiswinkel kongruent zueinander.
<ggb_applet width="755" height="535"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
<br /><br />
Wie man leicht sieht, wird das Dreieck <math>\overline{ABC}</math> bei einer Spiegelung an <math>\ s</math> auf sich selbst abgebildet. Also wird auch ein Basiswinkel auf den jeweils anderen Basiswinkel abgebildet. also sind die beiden Basiswinkel gleich groß.
<br /><br />
'''IST DAS EIN BEWEIS ????????'''

====Beispiel 3====
===== Satz des Thales =====
::Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist ein Rechter.

[[Bild:Unbenannt-5_Kopie.jpg]]


{| class="wikitable center"
|+ Abbildungsgeometrischer Beweis des Thalessatzes
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| (I)
| <math>\ S_a(A)=P</math>
| a ist Mittelsenkrechte von AP
|-
| (II)
| <math>\ S_b(P)=B</math>
| b ist Mittelsenktrechte von PB
|-
| (III)
| <math>\ S_b(S_a(A))=B</math>
| (I),(II) HIntereinanderführung zweier Spiegelungen ist eine eindeutige Bewegung
|-
| (IV)
| (III) ist eine Drehung um 180°
| koll(A,M,B);da M nach dem Mittelsenkrechtenkriterium auf AB liegen muss
|-
| (V)
| <math>a \perp b</math>
| (IV) und einem Satz über den Drehungswinkel
|-
| (VI)
| y = 90°
| (I), (II), (V) Innenwinkelsumme im Viereck 
|}
--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 16:39, 14. Dez. 2010 (UTC)
[[Category:Elementargeometrie]]