Was kann, was soll Abbildungsgeometrie in der Schule (2010)

Das Anliegen der Vorlesung

Bewegungen sind seit längerer Zeit integraler Stoff des Geometrieunterrichts der Schule. Bereits in der Primarstufe beschäftigen sich die Schüler mit achsensymmetrischen Figuren und in diesem Zusammenhang mit Geradenspiegelungen.
In letzter Zeit zeigen die Lehrbücher insbesondere der SI eine vergleichsweise geringere Gewichtung der Kongruenzabbildungen als etwa noch vor 5 Jahren. Eine Rückkehr zur eher statischen Kongruenzgeometrie auf der Grundlage der Dreieckskongruenz scheint sich anzubahnen.
Die Vorlesung soll aufzeigen wodurch dieser Paradigmenwechsel zustande kam. In diesem Zusammenhang wird aufgezeigt welche Probleme und welche Potenzen eine Kongruenzgeometrie auf abbildungsgeometrischer Grundlage für den Unterricht der Primar- und insbesondere der Sekundarstufe in sich birgt.

Noch einmal: die zwei Aspekte der Kongruenzgeometrie

Kongruenzgeometrie

auf der Grundlage der Dreieckskongruenz	auf der Grundlage des Bewegungsbegriffs
Ausgangspunkt: Dreieckskongruenzsätze	Ausgangspunkt: Bewegungen als abstandserhaltende Abbildung
$\ \overline{AB} \cong \overline{CD} := |AB| = |CD|$ $\ \angle{ASB} \cong \angle{PZQ} := |\angle{ASB}| = |\angle{PZQ}|$ $\ \overline{ABC} \cong \overline{A'B'C'}:= \overline{AB} \cong \overline{A'B'} \land \overline{BC} \cong \overline{B'C'}\land \overline{CA} \cong \overline{C'A'}$ $\land \angle{ABC} \cong \angle{A'B'C'} \land \angle{BCA} \cong \angle{B'C'A'}\land \angle{CAB} \cong \angle{C'A'B'}$ Es seien $\ F_1$ und $\ F_2$ zwei Figuren. $\ F_1 \cong F_2 :=$ alle Strecken und alle Winkel von $F_1$ konkruent zu $F_2$ sind (???)	Es seien $\ F_1$ und $\ F_2$ zwei Figuren. $\ F_1 \cong F_2 := \exists \beta : \beta (F_1) = F_2$

--Tetraeder 22:36, 15. Dez. 2010 (UTC)

Wege zur Definition des Begriffs der Kongruenzabbildung

1. Allgemeiner Bewegungsbegriff → axiomatische Absicherung der Existenz von Bewegungen (Bewegungsaxiom) → Kongruenzabbildung als Synonym → spezielle Kongruenzabbildungen (Spiegelung, Drehung, Verschiebung).
2. Geradenspiegelung → axiomatische Begründung von Geradenspiegelungen → Nacheinanderausführung von Geradenspiegelungen → Bewegung bzw. Kongruenzabbildung als Nacheinanderausführung zweier bzw. dreier Geradenspiegelungen.
3. axiomatische Begründung der Dreieckskongruenz (SWS) → Definition der Bewegung als abstandserhaltende Abbildung der Ebene auf sich → Synonym Kongruenzabbildung → definition und Untersuchung spezieller Kongruenzabbildungen.
4. axiomatische Begründung der Dreieckskongruenz (SWS) → Untersuchung von Geradenspiegelungen, Verschiebungen, Drehungen → Bewegung bzw. Kongruenzabbildung als Nacheinanderausführung von Spiegelungen, Verschiebungen und Drehungen.

Abbildungsgeometrische Beweise

Lange vorherrschende Meinung in der Mathematikdidaktik

Abbildungsgeometrische Beweise sind einfach, elegant, anschaulich und gut zu verstehen.

WIRKLICH????????

Beispiele

Beispiel 1

Satz

Die Nacheinanderausführung zweier Drehungen $\ D_{Z_1,\alpha}$ und $\ D_{Z_2,\beta}$ mit $\ Z_1$ und $\ Z_2$ sind verschieden voneinander ist entweder eine Drehung oder eine Verschiebung.

Beweis

$\ D_{Z_2,\beta} \circ \ D_{Z_1,\alpha} = S_d \circ S_c \circ S_b \circ S_a$

Ist das was für Schüler der SI?

Beispiel 2

Der Basiswinkelsatz

Wenn ein Dreieck gleichschenklig ist, dann sind seine Basiswinkel kongruent zueinander.

Wie man leicht sieht, wird das Dreieck $\overline{ABC}$ bei einer Spiegelung an $\ s$ auf sich selbst abgebildet. Also wird auch ein Basiswinkel auf den jeweils anderen Basiswinkel abgebildet. also sind die beiden Basiswinkel gleich groß.

IST DAS EIN BEWEIS ????????

Beispiel 3

Satz des Thales

Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist ein Rechter.

Abbildungsgeometrischer Beweis des Thalessatzes

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\ S_a(A)=P$	a ist Mittelsenkrechte von AP
(II)	$\ S_b(P)=B$	b ist Mittelsenktrechte von PB
(III)	$\ S_b(S_a(A))=B$	(I),(II) HIntereinanderführung zweier Spiegelungen ist eine eindeutige Bewegung
(IV)	(III) ist eine Drehung um 180°	koll(A,M,B);da M nach dem Mittelsenkrechtenkriterium auf AB liegen muss
(V)	$a \perp b$	(IV) und einem Satz über den Drehungswinkel
(VI)	y = 90°	(I), (II), (V) Innenwinkelsumme im Viereck

--Tja??? 16:39, 14. Dez. 2010 (UTC)